{"id":221,"date":"2023-07-11T02:32:50","date_gmt":"2023-07-11T02:32:50","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/formulas-de-equacoes-parametricas-de-uma-reta\/"},"modified":"2023-07-11T02:32:50","modified_gmt":"2023-07-11T02:32:50","slug":"formulas-de-equacoes-parametricas-de-uma-reta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/formulas-de-equacoes-parametricas-de-uma-reta\/","title":{"rendered":"Equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta"},"content":{"rendered":"
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea descobrir\u00e1 como calcular as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de qualquer reta, seja a partir de um ponto e um vetor, seja a partir de dois pontos. Voc\u00ea tamb\u00e9m descobrir\u00e1 como obter diferentes pontos em uma reta com suas equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas. E, al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver diversos exemplos e praticar com exerc\u00edcios resolvidos. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Como encontrar equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de uma reta<\/span><\/h2>\n
Para determinar as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de qualquer reta, basta seu vetor de dire\u00e7\u00e3o e um ponto pertencente \u00e0 reta. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
Sim<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e9 o vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha e<\/p>\n
<\/p>\n
um ponto que pertence \u00e0 direita:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A f\u00f3rmula para as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta<\/strong> \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ouro:<\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.<\/li>\n
\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha.<\/li>\n
\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o os componentes do vetor de dire\u00e7\u00e3o da linha.<\/li>\n
\n
<\/p>\n
\u00e9 um escalar (um n\u00famero real) cujo valor depende de cada ponto da reta.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
Portanto, as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas s\u00e3o uma forma de expressar uma reta analiticamente. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Estas s\u00e3o as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta no plano, ou seja, quando se trabalha com pontos e vetores de 2 coordenadas (em R2). Contudo, se estiv\u00e9ssemos fazendo c\u00e1lculos no espa\u00e7o (em R3), precisar\u00edamos adicionar uma equa\u00e7\u00e3o adicional para a terceira componente Z:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Por outro lado, tenha em mente que al\u00e9m das equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, existem outras maneiras de descrever matematicamente uma reta: a equa\u00e7\u00e3o vetorial, a equa\u00e7\u00e3o cont\u00ednua, a equa\u00e7\u00e3o impl\u00edcita (ou geral), a equa\u00e7\u00e3o expl\u00edcita e a equa\u00e7\u00e3o ponto-inclina\u00e7\u00e3o de Aline. Voc\u00ea pode conferir o que \u00e9 cada um deles em nosso site. <\/p>\n
<\/span> Exemplo de determina\u00e7\u00e3o das equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Agora vamos ver como encontrar as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de uma reta usando um exemplo:<\/p>\n
\n
Escreva as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta que passa pelo ponto\n
<\/p>\n
e tem<\/p>\n
<\/p>\n
como vetor orientador:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Para calcular as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta, precisamos aplicar sua f\u00f3rmula:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, substitu\u00edmos as coordenadas do ponto e o vetor de dire\u00e7\u00e3o na f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Obtendo pontos de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de linha <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Depois de encontrarmos as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta, \u00e9 muito f\u00e1cil calcular os pontos pelos quais a reta passa. Para determinar um ponto em uma linha , voc\u00ea deve atribuir um valor ao par\u00e2metro<\/strong><\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta.<\/p>\n
Por exemplo, dadas as seguintes equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Podemos obter um ponto na reta substituindo<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
por qualquer n\u00famero, por exemplo <\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E podemos calcular outro ponto na reta se substituirmos a vari\u00e1vel<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
por um n\u00famero diferente, por exemplo <\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, podemos obter infinitos pontos na reta, porque a vari\u00e1vel<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
pode assumir valores infinitos. <\/p>\n
<\/span> Como calcular equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de retas a partir de dois pontos<\/span><\/h2>\n
Outro problema t\u00edpico das equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas \u00e9 que elas nos d\u00e3o 2 pontos que pertencem \u00e0 reta e a partir deles temos que calcular as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas. Vamos ver como isso se resolve por meio de um exemplo:<\/p>\n
\n
Encontre as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta que passa pelos dois pontos a seguir:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Como vimos nas se\u00e7\u00f5es acima, para determinar as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de uma reta, precisamos do seu vetor diretor e de um ponto nele. J\u00e1 temos um ponto \u00e0 direita, mas falta-lhe o seu vetor diretor. Ent\u00e3o , primeiro precisamos calcular o vetor diretor da reta e depois as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas<\/strong> .<\/p>\n
Para encontrar o vetor dire\u00e7\u00e3o da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na express\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E como tamb\u00e9m sabemos o vetor diretor da reta, para encontrar suas equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas basta aplicar a f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Neste caso pegamos o ponto A para definir as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, mas tamb\u00e9m \u00e9 correto escrev\u00ea-las com o outro ponto que nos d\u00e3o no enunciado: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Problemas resolvidos de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta<\/span><\/h2>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n
Encontre a equa\u00e7\u00e3o param\u00e9trica da reta cujo vetor de dire\u00e7\u00e3o \u00e9<\/p>\n<\/p>\n
Para verificar se o ponto pertence \u00e0 reta, voc\u00ea deve substituir suas coordenadas nas equa\u00e7\u00f5es da reta e ver se em cada equa\u00e7\u00e3o encontramos o mesmo valor do par\u00e2metro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Nesse caso, significar\u00e1 que o ponto faz parte da reta, caso contr\u00e1rio, implicar\u00e1 que a reta n\u00e3o passa por este ponto.<\/p>\n
Assim, substitu\u00edmos as coordenadas do ponto nas equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E resolvemos as duas equa\u00e7\u00f5es resultantes: <\/p>\n
\n
\n
Coordenadas X<\/span> <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n
Coordenadas Y<\/span> <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Obtivemos dois valores de<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
diferente, ent\u00e3o o ponto n\u00e3o est\u00e1 em jogo.<\/strong><\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n
Calcule as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas da reta que passa pelos dois pontos a seguir: <\/p>\n<\/p>\n
Para calcular as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de uma reta, precisamos conhecer seu vetor diretor e um de seus pontos. Nesse caso, j\u00e1 temos um ponto na reta, mas falta seu vetor diretor. Devemos, portanto, primeiro calcular o vetor diretor da reta e depois as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas.<\/p>\n
Para encontrar o vetor dire\u00e7\u00e3o da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na express\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E uma vez que j\u00e1 conhecemos o vetor diretor da reta, para encontrar suas equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas simplesmente aplicamos a f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Neste caso escolhemos o ponto A para definir as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas, mas tamb\u00e9m \u00e9 v\u00e1lido escrev\u00ea-las com o outro ponto que nos d\u00e3o no enunciado: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
<\/span> Aplica\u00e7\u00f5es de equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas<\/span><\/h2>\n
Obviamente, o principal uso das equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas \u00e9 definir retas, como vimos. No entanto, equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas tamb\u00e9m s\u00e3o usadas para descrever outros tipos de elementos geom\u00e9tricos.<\/p>\n
Por exemplo, qualquer circunfer\u00eancia<\/strong> pode ser expressa por equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas. Sim<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e9 o raio do c\u00edrculo e<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o as coordenadas do seu centro, a parametriza\u00e7\u00e3o de um c\u00edrculo \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da mesma forma, uma elipse<\/strong> tamb\u00e9m pode ser configurada. Sim<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
s\u00e3o as coordenadas do centro da elipse,<\/p>\n
<\/p>\n
seu raio horizontal e<\/p>\n
<\/p>\n
seu raio vertical, as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de uma elipse s\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da mesma forma, pode ser feita representa\u00e7\u00e3o param\u00e9trica de outras curvas, como uma par\u00e1bola ou mesmo uma hip\u00e9rbole. Embora n\u00e3o os mostremos neste artigo porque s\u00e3o muito mais complicados.<\/p>\n
Finalmente, um plano<\/strong> tamb\u00e9m pode ser definido por uma express\u00e3o param\u00e9trica. Na verdade, as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de um plano s\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ser<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
um ponto fixo do plano, os coeficientes<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
dois par\u00e2metros desconhecidos, e<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
dois vetores de dire\u00e7\u00f5es diferentes contidos no plano.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea descobrir\u00e1 como calcular as equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas de qualquer reta, seja a partir de um ponto e um vetor, seja a partir de dois pontos. Voc\u00ea tamb\u00e9m descobrir\u00e1 como obter diferentes pontos em uma reta com suas equa\u00e7\u00f5es param\u00e9tricas. E, al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver diversos exemplos e praticar com exerc\u00edcios resolvidos. Como …<\/p>\n
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