{"id":214,"date":"2023-07-11T12:27:22","date_gmt":"2023-07-11T12:27:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-produtos-mistos-de-tres-vetores-ou-produtos-escalares-triplos\/"},"modified":"2023-07-11T12:27:22","modified_gmt":"2023-07-11T12:27:22","slug":"exemplos-de-produtos-mistos-de-tres-vetores-ou-produtos-escalares-triplos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/exemplos-de-produtos-mistos-de-tres-vetores-ou-produtos-escalares-triplos\/","title":{"rendered":"Produto misto de tr\u00eas vetores (ou produto escalar triplo)"},"content":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina explicamos o que \u00e9 o produto misto de tr\u00eas vetores (ou produto escalar triplo) e como ele \u00e9 calculado. Voc\u00ea tamb\u00e9m ver\u00e1 exemplos, exerc\u00edcios e problemas resolvidos sobre este tipo de opera\u00e7\u00e3o entre vetores. E, al\u00e9m disso, voc\u00ea encontrar\u00e1 as propriedades e aplica\u00e7\u00f5es do produto misto. <\/p>\n

<\/span> Qual \u00e9 o produto misto de tr\u00eas vetores?<\/span><\/h2>\n

O produto misto<\/strong> de tr\u00eas vetores, tamb\u00e9m chamado de produto escalar triplo<\/strong> , \u00e9 uma multiplica\u00e7\u00e3o sucessiva entre tr\u00eas vetores envolvendo dois tipos diferentes de opera\u00e7\u00f5es: o produto escalar<\/a> e o produto vetorial<\/a> . Portanto, a combina\u00e7\u00e3o das duas opera\u00e7\u00f5es vetoriais d\u00e1 um escalar (um n\u00famero real).<\/p>\n

Concretamente, o produto misto consiste em calcular o produto vetorial de dois vetores e, posteriormente, multiplicar vetorialmente o resultado obtido por um terceiro vetor. Escrito assim pode parecer muito complicado, mas na realidade n\u00e3o \u00e9 tanto assim, veja a f\u00f3rmula do produto escalar triplo:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]<\/p>\n<\/p>\n

Como voc\u00ea pode ver em sua f\u00f3rmula, o produto misto de tr\u00eas vetores \u00e9 indicado por dois colchetes. <\/p>\n

<\/span> Como calcular o produto misto de tr\u00eas vetores?<\/span><\/h2>\n

A f\u00f3rmula do produto escalar triplo \u00e9 a que acabamos de ver na se\u00e7\u00e3o anterior, por\u00e9m, geralmente n\u00e3o \u00e9 usada para determinar o produto misto de tr\u00eas vetores porque existe outra maneira, mais simples e r\u00e1pida: <\/p>\n

\n

Sejam quaisquer 3 vetores:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}=<\/p>\n<\/p>\n

Para calcular o produto misto entre tr\u00eas vetores,<\/strong> basta resolver o determinante 3\u00d73 formado pelas componentes dos vetores:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]=\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Para que voc\u00ea possa ver um exemplo de como isso \u00e9 calculado<\/span> , encontraremos o produto misto dos tr\u00eas vetores a seguir:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}=<\/p>\n<\/p>\n

Para determinar o produto misto, constru\u00edmos um determinante de ordem 3 colocando os vetores nas linhas da matriz:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]=\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

E agora s\u00f3 precisamos resolver o determinante da matriz, para isso voc\u00ea pode usar qualquer m\u00e9todo. Neste caso, aplicaremos a regra de Sarrus (mas isso tamb\u00e9m pode ser feito por adi\u00e7\u00f5es ou cofatores): <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]&<\/p>\n<\/p>\n

\n

Para mostrar que os dois procedimentos s\u00e3o equivalentes, calcularemos o produto misto dos mesmos vetores por meio de sua defini\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Recomendamos calcular o produto misto atrav\u00e9s do determinante dos vetores, pois \u00e9 mais r\u00e1pido e h\u00e1 menos chances de erros. Mas, como voc\u00ea pode ver, o resultado \u00e9 o mesmo, n\u00e3o importa o m\u00e9todo usado, ent\u00e3o use o que preferir. \ud83d\udc4d <\/p>\n

<\/span> Interpreta\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do produto misto<\/span><\/h2>\n

Depois de saber como encontrar o produto misto de tr\u00eas vetores, voc\u00ea deve estar se perguntando… e para que serve o produto misto? Pois bem, em matem\u00e1tica tem dois usos principais: calcular o volume de um paralelep\u00edpedo e o volume de um tetraedro.<\/p>\n

O volume de um paralelep\u00edpedo<\/strong> \u00e9 igual ao valor absoluto do produto misto dos vetores que marcam as 3 dimens\u00f5es do campo geom\u00e9trico. <\/p>\n

\n
\"exemplo<\/figure>\n<\/div>\n

Outra aplica\u00e7\u00e3o do produto misto \u00e9 determinar o volume de um tetraedro<\/strong> . Visto que geometricamente a sexta parte do valor absoluto do produto misto representa o volume de um tetraedro: <\/p>\n

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\"produto<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Propriedades do produto misto ou produto escalar triplo<\/span><\/h2>\n

O produto misto, ou produto escalar triplo, possui as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n