{"id":210,"date":"2023-07-11T20:48:25","date_gmt":"2023-07-11T20:48:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/modulo-de-uma-formula-vetorial-exemplos-de-exercicios-resolvidos\/"},"modified":"2023-07-11T20:48:25","modified_gmt":"2023-07-11T20:48:25","slug":"modulo-de-uma-formula-vetorial-exemplos-de-exercicios-resolvidos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/modulo-de-uma-formula-vetorial-exemplos-de-exercicios-resolvidos\/","title":{"rendered":"Como calcular o m\u00f3dulo de um vetor"},"content":{"rendered":"
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea ver\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o da magnitude de um vetor e como calcul\u00e1-lo com sua f\u00f3rmula. Voc\u00ea tamb\u00e9m poder\u00e1 ver como encontrar o m\u00f3dulo a partir de dois pontos: sua origem e seu fim. Al\u00e9m disso, voc\u00ea descobrir\u00e1 como determinar os componentes de um vetor a partir de seu m\u00f3dulo e das propriedades do m\u00f3dulo de um vetor. Voc\u00ea pode at\u00e9 praticar com exemplos, exerc\u00edcios e problemas passo a passo. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Qual \u00e9 o m\u00f3dulo de um vetor?<\/span><\/h2>\n
A magnitude de um vetor<\/strong> representa a dist\u00e2ncia entre sua origem e seu fim. Portanto, a magnitude de um vetor \u00e9 igual ao comprimento<\/strong> desse vetor. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Como voc\u00ea pode ver na representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica acima, a magnitude de um vetor \u00e9 simbolizada por uma barra vertical em cada lado do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Por outro lado, o m\u00f3dulo de um vetor \u00e9 igual \u00e0 norma de um vetor<\/strong> , ent\u00e3o voc\u00ea tamb\u00e9m pode v\u00ea-lo escrito dessa forma. \u00c9 por isso que existem matem\u00e1ticos que tamb\u00e9m representam o m\u00f3dulo de um vetor com duas barras verticais de cada lado: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> F\u00f3rmula para o m\u00f3dulo de um vetor<\/span><\/h2>\n
Para encontrar a magnitude de um vetor no plano, devemos aplicar a seguinte f\u00f3rmula: <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
Para determinar a magnitude de um vetor,<\/strong> devemos calcular a raiz quadrada (positiva) da soma dos quadrados de seus componentes. Em outras palavras, se tivermos o seguinte vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Seu m\u00f3dulo \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
Por exemplo, calcularemos a magnitude do seguinte vetor usando a f\u00f3rmula: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Calcule a magnitude de um vetor com as coordenadas de sua origem e fim<\/span><\/h2>\n
Acabamos de ver como a magnitude de um vetor \u00e9 determinada quando conhecemos suas componentes, mas o que aconteceria se soub\u00e9ssemos apenas os pontos onde ele come\u00e7a e onde termina?<\/p>\n
Assim, para calcular a magnitude de um vetor a partir das coordenadas de sua origem e de seu final, voc\u00ea deve seguir estes dois passos:<\/p>\n
\n
\n
Primeiro encontramos os componentes do vetor. Para fazer isso, precisamos subtrair o extremo menos a origem.<\/span><\/li>\n
E a seguir calculamos o m\u00f3dulo do vetor obtido com a f\u00f3rmula que vimos na se\u00e7\u00e3o anterior.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
Vamos ver como isso \u00e9 feito atrav\u00e9s de um exemplo:<\/p>\n
\n
Calcule a magnitude do vetor cuja origem \u00e9 o ponto\n
<\/p>\n
e como ponto final<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
Primeiro precisamos encontrar as componentes do vetor, ent\u00e3o subtra\u00edmos seu ponto final menos sua origem:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Uma vez conhecido o vetor, calculamos sua magnitude usando a f\u00f3rmula de magnitude vetorial:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E deixamos o resultado como raiz quadrada, porque n\u00e3o \u00e9 exato. <\/p>\n
<\/span> Como calcular as componentes de um vetor a partir do seu m\u00f3dulo <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Vimos como extrair a norma de um vetor a partir das suas componentes, mas o processo tamb\u00e9m pode ser invertido. Em outras palavras, podemos calcular as componentes de um vetor atrav\u00e9s do seu m\u00f3dulo.<\/p>\n
O processo de encontrar os componentes de um vetor a partir de sua magnitude \u00e9 chamado de decomposi\u00e7\u00e3o vetorial<\/strong> . Ent\u00e3o, para decompor um vetor, precisamos do seu m\u00f3dulo, obviamente, e do \u00e2ngulo que ele forma com o eixo das abcissas (eixo X).<\/p>\n
Para que os componentes X e Y do vetor possam ser calculados com as raz\u00f5es trigonom\u00e9tricas: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Como voc\u00ea pode ver na imagem, a magnitude de um vetor forma um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo com seus componentes, portanto as f\u00f3rmulas elementares da trigonometria podem ser aplicadas.<\/p>\n
Deve-se levar em conta que, diferentemente do m\u00f3dulo de um vetor, suas componentes podem ser negativas porque o seno e o cosseno podem assumir valores negativos.<\/p>\n
Como exemplo, resolveremos a decomposi\u00e7\u00e3o vetorial do vetor cuja magnitude e \u00e2ngulo com o eixo OX s\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
A componente horizontal do vetor \u00e9 igual ao m\u00f3dulo multiplicado pelo cosseno do \u00e2ngulo:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E a componente vertical do vetor \u00e9 igual a multiplicar o m\u00f3dulo pelo seno do \u00e2ngulo:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ent\u00e3o o vetor \u00e9 o seguinte: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Propriedades de m\u00f3dulo de um vetor<\/span><\/h2>\n
M\u00f3dulo \u00e9 um tipo de opera\u00e7\u00e3o vetorial que possui as seguintes caracter\u00edsticas:<\/p>\n
\n
A magnitude de um vetor nunca pode ser negativa<\/strong> , ser\u00e1 sempre igual ou maior que 0.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Na verdade, o \u00fanico vetor que existe com magnitude zero \u00e9 o vetor zero, ou seja, o vetor<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
A magnitude do produto de um vetor por um n\u00famero real (ou escalar) \u00e9 equivalente a multiplicar o valor absoluto do escalar pela magnitude do vetor. Portanto, vale a seguinte igualdade:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
A desigualdade triangular<\/strong> \u00e9 verificada: o m\u00f3dulo da soma de dois vetores \u00e9 menor ou igual \u00e0 soma de seus m\u00f3dulos separadamente.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Al\u00e9m disso, a magnitude da soma de dois vetores est\u00e1 relacionada ao produto escalar pela seguinte equa\u00e7\u00e3o: <\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> vetor unit\u00e1rio<\/span><\/h2>\n
Em matem\u00e1tica, um vetor unit\u00e1rio<\/strong> \u00e9 um vetor cujo m\u00f3dulo \u00e9 igual a um.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Portanto, o comprimento de um vetor unit\u00e1rio \u00e9 uma unidade.<\/p>\n
Pode parecer muito dif\u00edcil para um vetor ter um m\u00f3dulo exatamente 1, mas na verdade \u00e9 f\u00e1cil encontrar este tipo de vetor: <\/p>\n
\n
Para encontrar o vetor unit\u00e1rio de qualquer vetor, basta dividi-lo pelo seu m\u00f3dulo:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ouro<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
\u00e9 o vetor unit\u00e1rio de<\/p>\n
<\/p>\n
E<\/p>\n
<\/p>\n
seu m\u00f3dulo.<\/p>\n<\/div>\n
O vetor unit\u00e1rio tamb\u00e9m \u00e9 chamado de versor ou vetor normalizado.<\/p>\n
Al\u00e9m disso, o vetor unit\u00e1rio tem a mesma dire\u00e7\u00e3o e sentido do vetor original.<\/p>\n
Por exemplo, calcularemos o vetor unit\u00e1rio do seguinte vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Para normalizar o vetor, primeiro precisamos calcular sua magnitude:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E, por fim, calculamos o vetor unit\u00e1rio dividindo o vetor original pelo seu m\u00f3dulo: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Exerc\u00edcios de m\u00f3dulo vetorial resolvidos<\/span><\/h2>\n
Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n
Calcule a magnitude do seguinte vetor: <\/p>\n<\/p>\n
O vetor com a mesma dire\u00e7\u00e3o e mesmo sentido, mas com m\u00f3dulo 1, \u00e9 o vetor unit\u00e1rio. Para calcul\u00e1-lo, primeiro encontramos o m\u00f3dulo do vetor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
E agora calculamos o vetor unit\u00e1rio dividindo o vetor original pelo seu m\u00f3dulo: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
Exerc\u00edcio 6<\/h3>\n
Decomponha vetorialmente o seguinte vetor e calcule seu vetor unit\u00e1rio: <\/p>\n<\/p>\n
Nesta p\u00e1gina voc\u00ea ver\u00e1 a explica\u00e7\u00e3o da magnitude de um vetor e como calcul\u00e1-lo com sua f\u00f3rmula. Voc\u00ea tamb\u00e9m poder\u00e1 ver como encontrar o m\u00f3dulo a partir de dois pontos: sua origem e seu fim. Al\u00e9m disso, voc\u00ea descobrir\u00e1 como determinar os componentes de um vetor a partir de seu m\u00f3dulo e das propriedades do …<\/p>\n
![\"m\u00f3dulo](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/module-dune-longueur-de-vecteur.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7513a2086faba37053531b9addea2cb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fdcec36c9625381e65a49270cd8a2331_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f63fa0a6f4110553705d4e3d6cf23692_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"\\vv{\\text{u}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e1f083b8e9df80dc493a280f5c20cc0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c93cbb567f755c6f6f5ed9ddd8fce245_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"A(2,1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a16d799fdc0fa3c371c35ba5f0f3a3c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"B(-1,4).\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6a3a744084783890d8d12db98e82e348_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n![\"\\vv{AB}=B-A=(-1,4)-(2,1)=(-3,3)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2837e9a238c2d7143e91f36f1bdc953d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{vmatrix}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32da93798b33cfd623c145783850b8b8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"decomposi\u00e7\u00e3o](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/decomposition-dun-vecteur-dans-matab.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3899abb56397b041d612a1fb9d33a70a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{u}_x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e3b237fcbcb6df7294c9b2dd5d7f06cc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\text{u}_y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b2f9805cff94727a43f3bf53e78e9133_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\mathbf{u}}\\bm{](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8137f59704bc3ee0eabf752d669ce25d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-923d73a359ab40f1ffaba643bff0ca98_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{u}}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fbfff66ff910ebae6196cf59b4251eb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c814e6a42f23a1c1ab2c413261fa3d16_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63e1eae823666827bce2c51133a8a49b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a16809d6f89f2053f5c732a7acd486ea_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d377140c532b698d7cdb3b180f2b7e11_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}_u](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b8ce39ff18883208f914f48d4463051_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}_u\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62e58ce540d042ffd138cfec23ebac58_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}},\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d6a20023310ef9d6c49931c265af1ce_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a59cd4f2581db3318d38a2a77340a64_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\vv{\\text{v}}=(1,-1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06fc528ca9d541ea032c50af916549a3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-86ef7a2aa2d0201e764e4868b473b3e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-668d60d54811f2fd2be96dd0180563ee_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{a}=(6,8)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78feb0de1149c92d8000673c3bd9c750_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert\\vv{a}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2223831dac0e96dc39b2c1f575a96656_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{a}=(4,-2)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0cd5b4cce27e3e747335f1b83a27ea14_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{b}=(3,1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9528dc0e7c4fdec1f5ea0897cb5f1080_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{c}=(5,12)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3d0c1b4ab12a00987c3821811108881_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{d}=(-6,-3)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9611ddc072acda8752bf9cf38687c790_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\left|\\vv{a}\\right|=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f774b05c948e7cc2648508e840bec8d4_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"|\\vv{b}|=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26f7996534e539a7c403a494276e9b43_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{vmatrix}\\vv{c}\\end{vmatrix}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41d80256e32169ae228c30631ed6a7c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"|\\vv{d}|](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8d50ea2580fbf8d44a19147ea34b730_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"|\\vv{b}|<](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e3ca300d8666eb94fd4ddd22088e00a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"A(-3,2)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fa493d9071a18cc176e19c8aeda71e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"B(7,-4).\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7da7d69ba3de7c0a400c5739021b3ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{AB}=B-A=(7,-4)-(-3,2)=(10,-6)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-237f500f255108fb2f6673bdf1ac0c88_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{vmatrix}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c92f7a1361051e25fa90e0ed878a676_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-992e1cdc6a75b8bdfe860c97dc9911e9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a_x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33aa199d1341f57e7a85abaa3c261a91_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a_y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-269cf4eed12832856838538f0a314aaf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{\\mathbf{u}}\\bm{](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9a4b542b5e7893c3da383ffa65a133b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{a}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-764894932cc153ee326360c077c75ec9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d067857f68bb43d3ee3693466272cc36_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ff7322f3b35f78c5e151f4e7dc59eb98_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-305f67adc42d0194ae1c8bbca09484a0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a_x=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-425294f0e8b14e63cf0d59c6fa95f367_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a_y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a795bfcb22419526d23f6d0ff419fdc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\vv{a}=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abc6fa01a5b562627b05dc37ad7f59d1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-287411b8f47ca842a6db2cbe1c9a6ece_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n