{"id":21,"date":"2023-09-17T11:08:03","date_gmt":"2023-09-17T11:08:03","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/limites-ao-infinito\/"},"modified":"2023-09-17T11:08:03","modified_gmt":"2023-09-17T11:08:03","slug":"limites-ao-infinito","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/limites-ao-infinito\/","title":{"rendered":"Limites ao infinito"},"content":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 como resolver todos os tipos de limites no infinito: fun\u00e7\u00f5es polinomiais, racionais, exponenciais, com ra\u00edzes, indetermina\u00e7\u00f5es no infinito… Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com 25 exerc\u00edcios resolvidos passo a passo sobre limites quando x tendem ao infinito. . <\/p>\n

<\/span> Limite de uma fun\u00e7\u00e3o quando x tende ao infinito<\/span><\/h2>\n

O limite de uma fun\u00e7\u00e3o quando x se aproxima do infinito<\/strong> , seja positivo ou negativo, pode ser um valor real, mais infinito, menos infinito ou inexistente. Para resolver os limites no infinito, voc\u00ea precisa substituir x pelo infinito. <\/p>\n

\n
\"limites<\/figure>\n<\/div>\n

Como voc\u00ea pode ver no primeiro gr\u00e1fico, a fun\u00e7\u00e3o mostrada tende ao valor real k<\/em> em dire\u00e7\u00e3o ao infinito, porque se aproxima de k<\/em> \u00e0 medida que x<\/em> cresce. A fun\u00e7\u00e3o no canto superior direito tende ao infinito \u00e0 medida que x<\/em> se aproxima do infinito, porque cresce indefinidamente \u00e0 medida que x<\/em> aumenta de valor. Por outro lado, o gr\u00e1fico no canto inferior esquerdo diminui sem parar e, portanto, tende para menos infinito. Por fim, a \u00faltima fun\u00e7\u00e3o \u00e9 peri\u00f3dica e n\u00e3o tende a nenhum valor, portanto n\u00e3o h\u00e1 limite para o infinito neste caso. <\/p>\n

<\/span> Como resolver limites no infinito <\/span><\/h2>\n
\n

Para resolver um limite ao infinito em fun\u00e7\u00f5es polinomiais, devemos substituir x por infinito apenas no termo de maior grau da fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n

Por exemplo, observe o seguinte c\u00e1lculo de um limite ao infinito, onde substitu\u00edmos apenas o infinito no mon\u00f4mio do grau mais alto:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Como voc\u00ea pode ver no exemplo, +\u221e ao quadrado d\u00e1 +\u221e, j\u00e1 que um n\u00famero muito grande (+\u221e) elevado \u00e0 pot\u00eancia de 2 sempre dar\u00e1 um n\u00famero muito grande (+\u221e).<\/p>\n

E o mesmo acontece com a multiplica\u00e7\u00e3o: se voc\u00ea multiplicar um n\u00famero muito grande (+\u221e), sempre obter\u00e1 um n\u00famero muito grande (+\u221e). Por exemplo: <\/p>\n<\/p>\n

\"3\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

\n

Aten\u00e7\u00e3o:<\/strong> para calcular limites ao infinito \u00e9 importante levar em considera\u00e7\u00e3o os seguintes elementos:<\/p>\n

\u2192<\/strong><\/span> Um n\u00famero negativo elevado a um expoente par \u00e9 positivo. Portanto, menos infinito elevado a um expoente par d\u00e1 mais infinito:<\/p>\n<\/p>\n

\"(-\\infty)^2<\/p>\n<\/p>\n

\u2192<\/strong><\/span> Um n\u00famero negativo elevado a um expoente \u00edmpar \u00e9 negativo. Portanto, menos infinito elevado a um expoente \u00edmpar \u00e9 menos infinito:<\/p>\n<\/p>\n

\"(-\\infty)^3<\/p>\n<\/p>\n

\u2192<\/strong><\/span> Multiplicar um n\u00famero negativo altera o sinal do infinito:<\/p>\n<\/p>\n

\"-2(+\\infty)<\/p>\n<\/p>\n

\u2192<\/strong><\/span> Qualquer n\u00famero dividido por<\/p>\n<\/p>\n

\"\\pm<\/p>\n

d\u00e1 0: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{5}{\\infty}<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

<\/span> Exemplos de limites ao infinito<\/span><\/h2>\n

Para que voc\u00ea possa ver como os limites ao infinito s\u00e3o resolvidos em polin\u00f4mios, abaixo est\u00e3o v\u00e1rios desses limites resolvidos: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Limites indeterminados ao infinito<\/span><\/h2>\n

Os limites ao infinito nem sempre ser\u00e3o t\u00e3o f\u00e1ceis de calcular, pois \u00e0s vezes obteremos a indetermina\u00e7\u00e3o do infinito entre o infinito ou a indetermina\u00e7\u00e3o do infinito menos o infinito.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{\\infty}{\\infty}\\qquad<\/p>\n<\/p>\n

Quando obtemos este tipo de indetermina\u00e7\u00f5es (ou formas indeterminadas), n\u00e3o podemos conhecer o resultado diretamente, mas devemos realizar um procedimento preliminar para encontrar o valor limite. Veremos ent\u00e3o como os limites indeterminados no infinito s\u00e3o resolvidos. <\/p>\n

<\/span> Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito<\/span><\/h3>\n

Para encontrar o resultado da indetermina\u00e7\u00e3o infinito dividido pelo infinito devemos comparar o grau do numerador e o grau do denominador da fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    \n
  1. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for menor que o grau do polin\u00f4mio do denominador, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita sobre o infinito \u00e9 igual a zero.<\/u><\/strong><\/span><\/li>\n
  2. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for equivalente ao grau do polin\u00f4mio do denominador, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita sobre o infinito \u00e9 o quociente dos coeficientes principais dos dois polin\u00f4mios.<\/u><\/strong><\/span><\/li>\n
  3. Se o grau do polin\u00f4mio do numerador for maior que o grau do polin\u00f4mio do denominador, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito d\u00e1 mais ou menos infinito<\/u><\/strong> (o sinal depende dos termos principais dos dois polin\u00f4mios).<\/span><\/li>\n<\/ol>\n

    \"\\displaystyles \\end{array}\\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”><\/p>\n<\/p>\n

    Por exemplo, no limite a seguir, o polin\u00f4mio do numerador \u00e9 de segundo grau, enquanto o polin\u00f4mio do denominador \u00e9 de terceiro grau, ent\u00e3o a solu\u00e7\u00e3o para o limite \u00e9 0.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Veja este outro exemplo, em que os dois polin\u00f4mios da fun\u00e7\u00e3o racional s\u00e3o de segundo grau, portanto devemos dividir os coeficientes dos termos de grau superior para calcular o limite no infinito.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Finalmente, no pr\u00f3ximo limite, a fun\u00e7\u00e3o do numerador tem um grau maior que a do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o do infinito no infinito d\u00e1 o infinito. Al\u00e9m disso, um infinito positivo \u00e9 obtido do numerador, mas um infinito negativo do denominador, ent\u00e3o o resultado do limite \u00e9 negativo (o positivo entre o negativo \u00e9 negativo).<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito com ra\u00edzes<\/h4>\n

    Por outro lado, o grau de uma fun\u00e7\u00e3o irracional<\/strong> (fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes) \u00e9 o quociente entre o grau do termo principal e o \u00edndice do radical.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\sqrt[\\color{red}\\bm{m}\\color{black}]{a_nx^{\\color{blue}\\bm{n}\\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\\dots}<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, se o limite de uma fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes d\u00e1 indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito<\/strong> , devemos aplicar as mesmas regras explicadas acima em rela\u00e7\u00e3o aos graus do numerador e do denominador, mas levando em considera\u00e7\u00e3o que o grau de um polin\u00f4mio com ra\u00edzes \u00e9 calculado de forma diferente.<\/p>\n

    Veja o seguinte exemplo do limite infinito de uma fun\u00e7\u00e3o com radicais:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    O grau do numerador \u00e9 2 e o grau do denominador \u00e9 4 (8\/2=4), ent\u00e3o o limite \u00e9 0 porque o grau do numerador \u00e9 menor que o grau do denominador.<\/p>\n

    Indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito com fun\u00e7\u00f5es exponenciais<\/h4>\n

    O crescimento de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 muito maior que o crescimento de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial, portanto devemos considerar que o grau de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 maior que o grau de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

    \"\\text{exponencial}\\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”><\/p>\n<\/p>\n

    Assim, se a indetermina\u00e7\u00e3o infinito dividido por infinito resulta de um limite com fun\u00e7\u00f5es exponenciais, devemos simplesmente aplicar as mesmas regras explicando os graus do numerador e do denominador, mas tendo em conta que uma fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 de ordem superior a um polin\u00f3mio.<\/p>\n

    Al\u00e9m disso, se tivermos fun\u00e7\u00f5es exponenciais no numerador e no denominador da divis\u00e3o, a fun\u00e7\u00e3o exponencial com maior base ser\u00e1 a de maior ordem.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Neste exemplo, o denominador \u00e9 formado a partir de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial, portanto \u00e9 de ordem superior ao numerador. Portanto, a forma indeterminada infinito entre o infinito d\u00e1 0. <\/p>\n

    <\/span> Infinito menos indetermina\u00e7\u00e3o infinita<\/span><\/h3>\n

    Resolver a indetermina\u00e7\u00e3o infinita menos infinita depende se a fun\u00e7\u00e3o tem fra\u00e7\u00f5es ou ra\u00edzes. Ent\u00e3o vamos ver como resolver esse tipo de indetermina\u00e7\u00e3o para esses dois casos diferentes.<\/p>\n

    Indetermina\u00e7\u00e3o infinita menos infinita com fra\u00e7\u00f5es <\/h4>\n
    \n

    Quando ocorre uma indetermina\u00e7\u00e3o infinita menos infinita em uma adi\u00e7\u00e3o ou subtra\u00e7\u00e3o de fra\u00e7\u00f5es alg\u00e9bricas<\/strong> , devemos primeiro fazer a adi\u00e7\u00e3o ou subtra\u00e7\u00e3o das fra\u00e7\u00f5es e depois calcular o limite.<\/p>\n<\/div>\n

    Vamos ver como calcular a indetermina\u00e7\u00e3o infinito menos infinito em uma fun\u00e7\u00e3o com fra\u00e7\u00f5es resolvendo um exemplo passo a passo:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Primeiro tentamos calcular o limite:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Mas obtemos a indetermina\u00e7\u00e3o \u221e-\u221e.<\/p>\n

    Devemos primeiro subtrair as fra\u00e7\u00f5es. Para isso, reduzimos as fra\u00e7\u00f5es a um denominador comum, ou seja, multiplicamos o numerador e o denominador de uma fra\u00e7\u00e3o pelo denominador da outra:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E agora que as duas fra\u00e7\u00f5es t\u00eam o mesmo denominador, podemos combin\u00e1-las numa \u00fanica fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Operamos no numerador e no denominador:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    E finalmente calculamos o limite novamente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Neste caso a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito d\u00e1 +\u221e porque o grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador.<\/p>\n

    Indetermina\u00e7\u00e3o infinita menos infinita com ra\u00edzes <\/h4>\n
    \n

    Quando ocorre indetermina\u00e7\u00e3o infinita menos infinita na adi\u00e7\u00e3o ou subtra\u00e7\u00e3o radical<\/strong> , devemos primeiro multiplicar e dividir a fun\u00e7\u00e3o pela express\u00e3o radical conjugada e depois resolver o limite.<\/p>\n<\/div>\n

    Vamos ver como resolver a indetermina\u00e7\u00e3o infinito menos infinito em uma fun\u00e7\u00e3o irracional seguindo um exemplo passo a passo:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Primeiro tentamos resolver o limite da fun\u00e7\u00e3o com radicais:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    No entanto, obtemos a forma indeterminada \u221e-\u221e. Ent\u00e3o para saber quanto de indetermina\u00e7\u00e3o \u00e9 infinito menos infinito voc\u00ea tem que aplicar o procedimento explicado.<\/p>\n

    Como a fun\u00e7\u00e3o possui radicais, multiplicamos e dividimos toda a fun\u00e7\u00e3o pela express\u00e3o irracional conjugada:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    A express\u00e3o alg\u00e9brica do numerador corresponde \u00e0 identidade not\u00e1vel do produto de uma soma e uma diferen\u00e7a, podemos portanto simplificar a express\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Agora simplificamos a raiz do limite, j\u00e1 que \u00e9 elevado ao quadrado:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Operamos no numerador da fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    E por fim, refazemos o c\u00e1lculo do limite:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    O resultado do limite \u00e9 portanto 0, porque qualquer n\u00famero dividido pelo infinito \u00e9 igual a zero. <\/p>\n

    <\/span> Exerc\u00edcios resolvidos sobre limites no infinito<\/span><\/h2>\n

    Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

    Encontre os seguintes limites da fun\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica: <\/p>\n

    \n
    \n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

    \n
    \n
    \"limites<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O limite da fun\u00e7\u00e3o quando x tende para menos infinito e mais infinito d\u00e1 1: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Os limites laterais da fun\u00e7\u00e3o \u00e0 esquerda e \u00e0 direita no ponto x=-1 s\u00e3o respectivamente mais infinito e menos infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Finalmente, os limites laterais da fun\u00e7\u00e3o quando x tende a 1 valem menos infinito e mais infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

    Resolva o limite quando x se aproxima de mais o infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para resolver o limite no infinito, precisamos substituir x pelo infinito no termo de maior grau do polin\u00f4mio: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

    Calcule o limite ao infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o polinomial: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para resolver o limite no infinito, substitu\u00edmos x por infinito no termo de grau mais alto do polin\u00f4mio e realizamos os c\u00e1lculos: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

    Resolva o limite pelo menos infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o polinomial: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para calcular o limite no infinito, substitu\u00edmos x por menos infinito no grau mais alto do termo do polin\u00f4mio e avaliamos a fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Como menos infinito \u00e9 elevado ao quadrado, o sinal do infinito torna-se positivo.<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 5<\/h3>\n

    Encontre o limite no infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o racional: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para determinar o limite ao infinito, substitu\u00edmos x por mais infinito no termo do maior grau do numerador e denominador da fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Lembre-se de que qualquer n\u00famero dividido por mais ou menos infinito \u00e9 igual a 0.<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 6<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite no infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para calcular o limite quando x tende para \u00b1\u221e de uma fun\u00e7\u00e3o, basta olhar para o mon\u00f4mio do grau mais alto da fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 7<\/h3>\n

    Calcule o limite da seguinte fun\u00e7\u00e3o quando x se aproxima do infinito negativo: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste caso, basta substituir o termo quadr\u00e1tico por infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 8<\/h3>\n

    Encontre o limite da seguinte fun\u00e7\u00e3o exponencial quando x se aproxima do infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Embora seja uma fun\u00e7\u00e3o exponencial, o processo para resolver o limite \u00e9 o mesmo: substitua x pelo infinito. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 9<\/h3>\n

    Resolva o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o exponencial: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para resolver esse limite voc\u00ea deve usar as propriedades das fra\u00e7\u00f5es: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 10<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite no infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O limite d\u00e1 indetermina\u00e7\u00e3o menos infinito entre mais infinito. O grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador, ent\u00e3o o limite indeterminado \u00e9 igual a mais infinito. Por\u00e9m, como a divis\u00e3o \u00e9 infinito negativo por infinito positivo, o resultado \u00e9 infinito negativo. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 11<\/h3>\n

    Corrija o seguinte limite indeterminado: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste problema, a forma indeterminada infinito sobre infinito \u00e9 obtida a partir do quociente de dois polin\u00f4mios de mesmo grau, portanto o resultado do limite indeterminado \u00e9 a divis\u00e3o de seus coeficientes principais: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 12<\/h3>\n

    Calcule o seguinte limite pelo menos at\u00e9 o infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O grau de express\u00e3o alg\u00e9brica do numerador \u00e9 menor que o grau de express\u00e3o do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o +\u221e\/+\u221e d\u00e1 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 13<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite indeterminado de uma fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    A express\u00e3o do numerador est\u00e1 sob radical, seu grau \u00e9 portanto 7\/3. Por outro lado, o polin\u00f4mio denominador \u00e9 quadr\u00e1tico. E como 7\/3>2, o limite d\u00e1 mais infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 14<\/h3>\n

    Determine o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com fra\u00e7\u00f5es: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Neste exerc\u00edcio obtemos indetermina\u00e7\u00e3o menos infinito dividido por menos infinito com o grau do numerador maior que o grau do denominador, portanto: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 15<\/h3>\n

    Encontre o limite pelo menos infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O polin\u00f4mio denominador \u00e9 quadr\u00e1tico, enquanto o polin\u00f4mio numerador \u00e9 linear. Portanto, a indetermina\u00e7\u00e3o infinita dividida pelo infinito d\u00e1 0. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 16<\/h3>\n

    Resolva o limite pelo menos infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O numerador \u00e9 um grau maior que o denominador, ent\u00e3o o resultado da forma indeterminada \u221e\/\u221e ser\u00e1 infinito. Al\u00e9m disso, o sinal do infinito ser\u00e1 negativo porque positivo entre negativo se traduz em negativo: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 17<\/h3>\n

    Resolva o seguinte limite no infinito: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    A fun\u00e7\u00e3o exponencial \u00e9 de ordem superior \u00e0 fun\u00e7\u00e3o polinomial, ent\u00e3o o limite dar\u00e1 infinito. Por\u00e9m, dividindo o positivo pelo negativo, o sinal do infinito ser\u00e1 negativo: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 18<\/h3>\n

    Calcule o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com raiz quadrada: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O numerador \u00e9 composto por uma raiz quadrada, portanto seu grau \u00e9 2\/2=1. Ent\u00e3o, o grau do numerador \u00e9 igual ao do denominador, ent\u00e3o a indetermina\u00e7\u00e3o infinita entre o infinito \u00e9 resolvida da seguinte forma: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 19<\/h3>\n

    Resolva o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com dois radicais: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O grau do numerador \u00e9 7\/3=2,33 e o grau do denominador \u00e9 5\/2=2,5. Portanto, como o grau do numerador \u00e9 menor que o grau do denominador, o limite infinito indeterminado entre o infinito \u00e9 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 20<\/h3>\n

    Calcule o seguinte limite: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Independentemente do grau do numerador, como temos uma fun\u00e7\u00e3o exponencial no denominador, o resultado da forma indeterminada infinito sobre infinito \u00e9 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 21<\/h3>\n

    Determine o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o racional: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Primeiro, tentamos calcular o limite substituindo o infinito na fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Mas encontramos a indetermina\u00e7\u00e3o \u221e \u2013 \u221e. Portanto, reduzimos as fra\u00e7\u00f5es a um denominador comum:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim\\limits_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E como as duas fra\u00e7\u00f5es agora t\u00eam o mesmo denominador, podemos combin\u00e1-las em uma \u00fanica fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Fazemos os par\u00eanteses do numerador:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E finalmente, determinamos o limite:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Neste caso a indetermina\u00e7\u00e3o \u221e\/\u221e d\u00e1 +\u221e porque o grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador.<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 22<\/h3>\n

    Resolva o limite da seguinte fun\u00e7\u00e3o fracion\u00e1ria quando x se aproxima de 0: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Primeiro tentamos calcular o limite normalmente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Mas obtemos a forma indeterminada \u221e-\u221e. Devemos, portanto, reduzir as fra\u00e7\u00f5es da fun\u00e7\u00e3o a um denominador comum.<\/p>\n

    Neste caso, x 4<\/sup> \u00e9 um m\u00faltiplo de x 2<\/sup> , ent\u00e3o simplesmente multiplicando o numerador e o denominador da segunda fra\u00e7\u00e3o por x 2<\/sup> garantiremos que ambas as fra\u00e7\u00f5es tenham o mesmo denominador:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Agora podemos subtrair as duas fra\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Tentamos resolver o limite novamente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    Mas acabamos com a indetermina\u00e7\u00e3o de uma constante come\u00e7ando do zero. \u00c9 portanto necess\u00e1rio calcular os limites laterais da fun\u00e7\u00e3o. <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Concluindo, como os dois limites laterais da fun\u00e7\u00e3o no ponto x=0 d\u00e3o -\u221e, a solu\u00e7\u00e3o do limite \u00e9 -\u221e: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 23<\/h3>\n

    Resolva o limite infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o com ra\u00edzes: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Tentando resolver o limite, obtemos a indetermina\u00e7\u00e3o infinito menos infinito:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, como existem radicais na fun\u00e7\u00e3o, ela deve ser multiplicada e dividida pela express\u00e3o radical conjugada:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    No numerador temos o produto not\u00e1vel de uma soma e uma diferen\u00e7a, que \u00e9 igual \u00e0 diferen\u00e7a dos quadrados. Ainda:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Simplificamos o radical ao quadrado:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Operamos no numerador: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    E finalmente encontramos o limite:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Neste caso o infinito indeterminado dividido pelo infinito \u00e9 mais infinito porque o grau do numerador \u00e9 maior que o grau do denominador (lembre-se que a raiz quadrada reduz o grau em dois:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\sqrt{x^4}<\/p>\n

    ).<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 24<\/h3>\n

    Resolva o limite quando x se aproxima do infinito da seguinte fun\u00e7\u00e3o irracional: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Primeiro, tentamos calcular o limite normalmente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Mas isto resulta na indetermina\u00e7\u00e3o da diferen\u00e7a de infinitos. Portanto, como a fun\u00e7\u00e3o possui ra\u00edzes, devemos multiplicar e dividir a express\u00e3o pelo radical conjugado:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Agrupamos a igualdade not\u00e1vel do numerador da fra\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Resolvemos a raiz quadrada:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Resolvemos a identidade not\u00e1vel do quadrado de uma diferen\u00e7a:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Operamos no numerador: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E finalmente calculamos o valor do limite no infinito:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Mesmo que haja um x ao quadrado no denominador, seu grau \u00e9 na verdade 1 porque est\u00e1 dentro de uma raiz:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\sqrt{4x^2}<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, o resultado da indetermina\u00e7\u00e3o -\u221e\/+\u221e \u00e9 a divis\u00e3o dos coeficientes do x de maior grau, pois o grau do numerador \u00e9 igual ao grau do denominador.<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Observe que, como existem dois termos de primeiro grau no denominador<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\bigl(2x\"<\/p>\n

    E<\/p>\n

    \"\\sqrt{4x^2}\\bigr)\"<\/p>\n

    , para resolver a indetermina\u00e7\u00e3o -\u221e\/+\u221e \u00e9 necess\u00e1rio tomar todos os coeficientes dos termos de primeiro grau, ou seja, o<\/p>\n

    \"2\"<\/p>\n

    de<\/p>\n

    \"2x\"<\/p>\n

    e a<\/p>\n

    \"\\sqrt{4}\"<\/p>\n

    de <\/p>\n

    \"\\sqrt{4x^2}.\"<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 25<\/h3>\n

    Calcule o limite quando x se aproxima de 1 da seguinte fun\u00e7\u00e3o com fra\u00e7\u00f5es: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Ao tentar fazer o limite obtemos o limite indeterminado do infinito menos infinito:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

    Devemos portanto reduzir as fra\u00e7\u00f5es a um denominador comum, ou por outras palavras, devemos multiplicar o numerador e o denominador de uma fra\u00e7\u00e3o pelo denominador da outra:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E como agora as duas fra\u00e7\u00f5es t\u00eam o mesmo denominador, podemos junt\u00e1-las:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Operamos: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E tentamos resolver o limite novamente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Mas encontramos a indetermina\u00e7\u00e3o zero dividida por zero. Devemos, portanto, fatorar os polin\u00f4mios do numerador e do denominador:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    Agora simplificamos a fra\u00e7\u00e3o removendo o fator que se repete no numerador e no denominador:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    E finalmente, resolvemos o limite:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Aqui voc\u00ea encontrar\u00e1 como resolver todos os tipos de limites no infinito: fun\u00e7\u00f5es polinomiais, racionais, exponenciais, com ra\u00edzes, indetermina\u00e7\u00f5es no infinito… Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 treinar com 25 exerc\u00edcios resolvidos passo a passo sobre limites quando x tendem ao infinito. . Limite de uma fun\u00e7\u00e3o quando x tende ao infinito O limite de uma fun\u00e7\u00e3o …<\/p>\n

    Limites ao infinito<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[16],"tags":[],"class_list":["post-21","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-limites-de-funcao"],"yoast_head":"\n\u25b7 Como 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