{"id":202,"date":"2023-07-15T02:22:02","date_gmt":"2023-07-15T02:22:02","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/metodo-dos-minimos-quadrados\/"},"modified":"2023-07-15T02:22:02","modified_gmt":"2023-07-15T02:22:02","slug":"metodo-dos-minimos-quadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/metodo-dos-minimos-quadrados\/","title":{"rendered":"Qual \u00e9 o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados?"},"content":{"rendered":"

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 uma ferramenta matem\u00e1tica para encontrar a melhor linha reta correspondente a um conjunto de pontos<\/strong> . Explicamos para voc\u00ea de uma forma simples:<\/p>\n

Imagine que voc\u00ea tem v\u00e1rios pontos em um gr\u00e1fico espalhados aqui e ali. Voc\u00ea deseja encontrar uma linha reta que melhor \u201cse ajuste\u201d a esses pontos, de modo a minimizar a dist\u00e2ncia entre a linha e os pontos<\/strong> . Esta \u00e9 a ideia por tr\u00e1s do m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados.<\/p>\n

O m\u00e9todo utiliza uma f\u00f3rmula para calcular a equa\u00e7\u00e3o da reta que minimiza a soma dos quadrados das diferen\u00e7as entre os pontos e a reta. Ou seja, procura a reta que apresenta o menor \u201cdesvio\u201d dos pontos.<\/p>\n

Em termos simples, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 \u00fatil para a an\u00e1lise dos dados obtidos durante uma investiga\u00e7\u00e3o, com o objetivo de expressar o seu comportamento de forma linear, reduzindo os erros das informa\u00e7\u00f5es roubadas.<\/p>\n

Quem criou o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados?<\/span><\/h2>\n

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados, ferramenta fundamental em estat\u00edstica e an\u00e1lise de dados, \u00e9 atribu\u00eddo ao matem\u00e1tico alem\u00e3o Carl Friedrich Gauss<\/strong> , que o prop\u00f4s em 1794. Contudo, Gauss s\u00f3 o publicou em 1809<\/strong> .<\/p>\n

Curiosamente, o matem\u00e1tico franc\u00eas Andrien-Marie Legendre publicou uma vers\u00e3o semelhante em 1805<\/strong> , desenvolvendo-a de forma independente.<\/p>\n

Ambos os matem\u00e1ticos ajudaram a criar este m\u00e9todo que tem sido amplamente utilizado em v\u00e1rias disciplinas para ajustar modelos aos dados observados e fazer previs\u00f5es precisas.<\/p>\n

F\u00f3rmula de m\u00ednimos quadrados<\/span><\/h2>\n

Sem d\u00favida, para compreender o que envolve este m\u00e9todo, \u00e9 fundamental explicar a sua f\u00f3rmula e o processo da sua implementa\u00e7\u00e3o. Aqui est\u00e1 uma explica\u00e7\u00e3o detalhada da f\u00f3rmula dos m\u00ednimos quadrados:<\/p>\n

defina o problema<\/h3>\n

Digamos que voc\u00ea tenha um conjunto de dados com duas vari\u00e1veis, uma vari\u00e1vel independente (x) e uma vari\u00e1vel dependente (y), e queira ajustar uma linha reta a esses dados.<\/p>\n

O objetivo \u00e9 encontrar os valores dos coeficientes da equa\u00e7\u00e3o da reta (interse\u00e7\u00e3o e inclina\u00e7\u00e3o) que minimiza a soma dos quadrados das diferen\u00e7as entre os valores reais de y, e os valores previstos pelo linha ajustada.<\/p>\n

Calcule a equa\u00e7\u00e3o da reta<\/h3>\n

A equa\u00e7\u00e3o de uma reta tem a forma y = mx + b, onde m \u00e9 a inclina\u00e7\u00e3o eb \u00e9 a intercepta\u00e7\u00e3o y. A f\u00f3rmula dos m\u00ednimos quadrados para calcular os valores myb \u00e9: <\/p>\n

\n
\"F\u00f3rmula<\/figure>\n<\/div>\n

Ouro:<\/p>\n

\u03a3 representa a soma dos valores.<\/p>\n

x i<\/sub> e y i<\/sub> s\u00e3o os valores das vari\u00e1veis xey respectivamente para cada ponto de dados.<\/p>\n

x\u0304 e \u0233 s\u00e3o as m\u00e9dias dos valores de xey respectivamente.<\/p>\n

(x i<\/sub> \u2013 x\u0304) e (y i<\/sub> \u2013 \u0233) s\u00e3o as diferen\u00e7as entre os valores de x e y e suas respectivas m\u00e9dias.<\/p>\n

(x i<\/sub> \u2013 x\u0304) 2<\/sup> \u00e9 o quadrado da diferen\u00e7a entre o valor de x e sua m\u00e9dia.<\/p>\n

interpretar os resultados<\/h3>\n

Depois de calcular os valores de m e b usando a f\u00f3rmula, voc\u00ea pode us\u00e1-los para obter a equa\u00e7\u00e3o da reta ajustada. Por exemplo, se voc\u00ea tiver m = 2 e b = 3, ent\u00e3o a equa\u00e7\u00e3o da reta ajustada seria y = 2x + 3. Isso permite fazer previs\u00f5es ou estimativas dos valores de y para diferentes valores de x com base no direito ajustado.<\/p>\n

Quando o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 usado?<\/span><\/h2>\n

Voc\u00ea provavelmente se perguntar\u00e1: quando esse m\u00e9todo \u00e9 usado? \u00c9 muito \u00fatil em diversas situa\u00e7\u00f5es! Por exemplo, quando voc\u00ea deseja analisar dados experimentais ou de pesquisa para encontrar uma rela\u00e7\u00e3o ou tend\u00eancia<\/strong> .<\/p>\n

Suponha que voc\u00ea esteja investigando a rela\u00e7\u00e3o entre o pre\u00e7o de uma casa e seu tamanho em metros quadrados. Voc\u00ea pode usar o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados para encontrar a reta que melhor se ajusta aos dados e d\u00e1 uma ideia clara dessa rela\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Tamb\u00e9m \u00e9 usado em economia para modelar e prever vari\u00e1veis como demanda de produtos ou comportamento de pre\u00e7os<\/strong> . Al\u00e9m disso, na engenharia, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 aplicado para ajustar modelos matem\u00e1ticos a dados de teste ou simula\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 uma ferramenta poderosa e vers\u00e1til usada em muitos campos de estudo e trabalho para analisar dados e encontrar rela\u00e7\u00f5es importantes.<\/p>\n

Aplica\u00e7\u00f5es do m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados em outros teoremas<\/span><\/h2>\n

Al\u00e9m de seu uso em si, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 muito \u00fatil em outros teoremas. Vamos ver um pouco mais sobre o assunto a seguir.<\/p>\n

Teorema da regress\u00e3o<\/h3>\n

\u00c9 amplamente utilizado no teorema da regress\u00e3o para encontrar a melhor reta que se ajusta a um conjunto de dados<\/strong> . Por exemplo, voc\u00ea pode us\u00e1-lo para analisar a rela\u00e7\u00e3o entre a altura de uma planta e a quantidade de luz que ela recebe para determinar como a planta crescer\u00e1 em diferentes condi\u00e7\u00f5es de ilumina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Interpola\u00e7\u00e3o de teorema<\/h3>\n

Neste caso, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados tamb\u00e9m \u00e9 aplicado no teorema da interpola\u00e7\u00e3o para encontrar a fun\u00e7\u00e3o polinomial<\/strong> que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. Por exemplo, voc\u00ea pode us\u00e1-lo para aproximar a trajet\u00f3ria de um objeto em movimento com base em dados de posi\u00e7\u00e3o e tempo.<\/p>\n

Teorema do ajuste de curva<\/h3>\n

\u00c9 usado no teorema do ajuste de curva para encontrar uma curva que se ajuste a um conjunto de dados<\/strong> . Isto \u00e9 \u00fatil em aplica\u00e7\u00f5es como modelagem de dados clim\u00e1ticos para prever mudan\u00e7as clim\u00e1ticas ou para prever a trajet\u00f3ria de um proj\u00e9til.<\/p>\n

Teorema da an\u00e1lise de Fourier<\/h3>\n

No teorema da an\u00e1lise de Fourier, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 usado para aproximar uma fun\u00e7\u00e3o peri\u00f3dica de uma s\u00e9rie de dados discretos<\/strong> . Isto se aplica \u00e0 sinaliza\u00e7\u00e3o de dados e \u00e0 compress\u00e3o de imagem e som.<\/p>\n

Teorema da Regress\u00e3o N\u00e3o Linear<\/h3>\n

Finalmente, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados tamb\u00e9m \u00e9 aplicado no teorema da regress\u00e3o n\u00e3o linear para encontrar a melhor curva que se ajusta a um conjunto de dados que n\u00e3o segue uma rela\u00e7\u00e3o linear<\/strong> . Por exemplo, voc\u00ea pode us\u00e1-lo para analisar como a concentra\u00e7\u00e3o de um produto qu\u00edmico afeta a taxa de rea\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Exemplo do m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados<\/span><\/h2>\n

Para entender melhor como voc\u00ea pode aplicar o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados, vejamos um exemplo abaixo.<\/p>\n

Suponha que voc\u00ea tenha os seguintes dados de altura (em cent\u00edmetros) de uma planta em semanas diferentes: <\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Semana<\/strong><\/td>\n altura em cent\u00edmetros<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n dez<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\n 12<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\n 14<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n 16<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/td>\n 18<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/td>\n vinte<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n

Voc\u00ea deseja encontrar a melhor linha reta que se ajuste a esses dados para fazer uma previs\u00e3o da altura futura da planta.<\/p>\n

Etapa 1<\/strong> : representar graficamente os dados<\/p>\n

A primeira coisa a fazer \u00e9 representar graficamente os dados em um gr\u00e1fico de dispers\u00e3o. O eixo x representar\u00e1 semanas e o eixo y representar\u00e1 a altura em cent\u00edmetros. Aqui est\u00e1 o gr\u00e1fico: <\/p>\n

\n
\"Ponto<\/figure>\n<\/div>\n

Etapa 2<\/strong> : Aplicar o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados<\/p>\n

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados busca encontrar uma reta que minimize a soma dos quadrados das diferen\u00e7as entre os dados reais e os valores previstos pela reta. Neste caso, a reta \u00e9 representada pela equa\u00e7\u00e3o de uma reta: y = mx + b, onde \u201cy\u201d \u00e9 a altura, \u201cx\u201d s\u00e3o as semanas, \u201cm\u201d \u00e9 a inclina\u00e7\u00e3o da reta e \u201cb\u201d \u00e9 a intercepta\u00e7\u00e3o y.<\/p>\n

Para encontrar os valores de \u201cm\u201d e \u201cb\u201d que minimizam a soma dos quadrados das diferen\u00e7as, s\u00e3o utilizadas as seguintes f\u00f3rmulas: <\/p>\n

\n
\"Minimizar<\/figure>\n<\/div>\n

Onde N \u00e9 o n\u00famero de pontos de dados (neste caso, 6), \u03a3xy \u00e9 a soma das semanas vezes as alturas, \u03a3x \u00e9 a soma das semanas, \u03a3y \u00e9 a soma das alturas e \u03a3x 2<\/sup> \u00e9 a soma dos quadrados das semanas .<\/p>\n

Aplicando essas f\u00f3rmulas aos dados de altura, obtemos:<\/p>\n

\u03a3xy = 1 10 + 2 12 + 3 14 + 4 16 + 5 18 + 6 20 = 630<\/p>\n

\u03a3x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21<\/p>\n

\u03a3y = 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 90<\/p>\n

\u03a3x 2<\/sup> = 1 2<\/sup> + 2 2<\/sup> + 3 2<\/sup> + 4 2<\/sup> + 5 2<\/sup> + 6 2<\/sup> = 91<\/p>\n

Substituindo esses valores nas f\u00f3rmulas de \u201cm\u201d e \u201cb\u201d:<\/p>\n

m = (6 \u00b7 630 \u2013 21 \u00b7 90) \u00f7 (6 \u00b7 91 \u2013 21 2<\/sup> ) \u2248 2,07<\/p>\n

b = (90 \u2013 2,07 \u00b7 21) \u00f7 6 \u2248 3,24<\/p>\n

Portanto, a equa\u00e7\u00e3o da reta que corresponde aos dados de altura \u00e9: y.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 uma ferramenta matem\u00e1tica para encontrar a melhor linha reta correspondente a um conjunto de pontos . Explicamos para voc\u00ea de uma forma simples: Imagine que voc\u00ea tem v\u00e1rios pontos em um gr\u00e1fico espalhados aqui e ali. Voc\u00ea deseja encontrar uma linha reta que melhor \u201cse ajuste\u201d a esses pontos, …<\/p>\n

Qual \u00e9 o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados?<\/span> Leia mais »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[33,14],"tags":[],"class_list":["post-202","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-estatisticas","category-explicacoes-matematicas"],"yoast_head":"\nQual \u00e9 o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados? -Maturidade<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/metodo-dos-minimos-quadrados\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Qual \u00e9 o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados? -Maturidade\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 uma ferramenta matem\u00e1tica para encontrar a melhor linha reta correspondente a um conjunto de pontos . 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