{"id":191,"date":"2023-07-15T07:18:29","date_gmt":"2023-07-15T07:18:29","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/binomio-de-newton\/"},"modified":"2023-07-15T07:18:29","modified_gmt":"2023-07-15T07:18:29","slug":"binomio-de-newton","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/binomio-de-newton\/","title":{"rendered":"Qual \u00e9 o bin\u00f4mio de newton?"},"content":{"rendered":"<p><strong>O bin\u00f4mio de Newton<\/strong> \u00e9 uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica usada para expressar <strong>a soma de dois termos elevados a uma determinada pot\u00eancia<\/strong> . Esta f\u00f3rmula, em homenagem ao matem\u00e1tico brit\u00e2nico Isaac Newton, \u00e9 usada em muitas \u00e1reas da matem\u00e1tica.<\/p>\n<p> Por exemplo, tem utilidade em estat\u00edstica, teoria das probabilidades e c\u00e1lculo diferencial e integral. O <strong>teorema binomial<\/strong> nos permite calcular a pot\u00eancia de um bin\u00f4mio de forma simples.<\/p>\n<p> Simplificando, o bin\u00f4mio de Newton \u00e9 baseado em uma f\u00f3rmula com a qual <strong>qualquer express\u00e3o alg\u00e9brica da forma (a+b) <sup>n<\/sup><\/strong> pode ser resolvida. Apesar de esta f\u00f3rmula ter o nome de Isaac Newton, vale ressaltar que h\u00e1 controv\u00e9rsias sobre sua origem.<\/p>\n<p> Ou seja, algumas pesquisas sugerem encontrar a utiliza\u00e7\u00e3o do teorema binomial no Oriente M\u00e9dio.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Cuando_se_desarrollo_el_binomio_de_Newton\">Quando o bin\u00f4mio de Newton foi desenvolvido?<\/span><\/h2>\n<p> O teorema binomial de Newton, tamb\u00e9m conhecido como bin\u00f4mio de Newton, <strong>foi desenvolvido em 1665 e comunicado pela primeira vez em duas cartas do oficial da Royal Society em 1676<\/strong> .<\/p>\n<p> Estas cartas foram uma resposta ao matem\u00e1tico alem\u00e3o Gottfried Wilhelm von Leibniz, que procurava compreender melhor as investiga\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas em s\u00e9ries infinitas. Newton compartilhou os resultados de seu teorema e Leibniz reconheceu que era uma t\u00e9cnica \u00fatil para obter resultados em quadraturas ou s\u00e9ries.<\/p>\n<p> Esta observa\u00e7\u00e3o permitiu a Newton concluir que era poss\u00edvel <strong>operar sobre s\u00e9ries infinitas da mesma forma que sobre express\u00f5es polinomiais finitas<\/strong> . Embora Newton nunca tenha publicado seu teorema, o matem\u00e1tico brit\u00e2nico John Wallis publicou-o em sua \u00c1lgebra em 1685 e atribuiu sua cria\u00e7\u00e3o a Newton.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Por_que_se_llama_binomio_de_Newton\">Por que \u00e9 chamado de bin\u00f4mio de Newton?<\/span><\/h2>\n<p> O bin\u00f4mio de Newton recebeu o nome do matem\u00e1tico e f\u00edsico ingl\u00eas Isaac Newton, que <strong>o desenvolveu no s\u00e9culo XVII<\/strong> . Newton n\u00e3o foi o primeiro a descobrir este teorema, mas foi o primeiro a provar a sua validade para qualquer n\u00famero inteiro positivo n.<\/p>\n<p> O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 uma ferramenta matem\u00e1tica muito \u00fatil em \u00e1lgebra e c\u00e1lculo e \u00e9 amplamente utilizado em \u00e1reas como f\u00edsica, estat\u00edstica, engenharia e ci\u00eancia da computa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Cual_es_la_formula_del_binomio_de_Newton\">Qual \u00e9 a f\u00f3rmula binomial de Newton?<\/span><\/h2>\n<p> Como mencionamos anteriormente, o bin\u00f4mio de Newton \u00e9 a f\u00f3rmula pela qual <strong>as pot\u00eancias de um bin\u00f4mio podem ser encontradas<\/strong> . Para encontrar a referida pot\u00eancia binomial, s\u00e3o utilizados \u201ccoeficientes binomiais\u201d. O termo anterior refere-se a sequ\u00eancias de combina\u00e7\u00f5es.<\/p>\n<p> Com isso em mente, podemos decompor as f\u00f3rmulas binomiais de Newton da seguinte forma:<\/p>\n<ul>\n<li> (a + b) <sup>2<\/sup> = a <sup>2<\/sup> + 2ab + b <sup>2<\/sup><\/li>\n<li> (a \u2013 b) <sup>2<\/sup> = a <sup>2<\/sup> \u2013 2ab + b <sup>2<\/sup><\/li>\n<li> (a + b) <sup>3<\/sup> = a <sup>3<\/sup> + 3a <sup>2<\/sup> b + 3 ab <sup>2<\/sup> + b <sup>3<\/sup><\/li>\n<\/ul>\n<p> As express\u00f5es matem\u00e1ticas que se referem ao desenvolvimento de (a+b) <sup>n<\/sup> s\u00e3o chamadas de entidades not\u00e1veis, e permitem obter uma f\u00f3rmula geral que representa esta opera\u00e7\u00e3o para qualquer n\u00famero natural \u201cn\u201d.<\/p>\n<p> Ao examinar os coeficientes de cada polin\u00f4mio resultante, podemos notar uma sequ\u00eancia que segue o que \u00e9 conhecido como <strong>Tri\u00e2ngulo de Pascal<\/strong> .<\/p>\n<p> A sequ\u00eancia do tri\u00e2ngulo de Pascal come\u00e7a com o n\u00famero 1, e em cada linha subsequente os d\u00edgitos finais s\u00e3o sempre 1. Os valores intermedi\u00e1rios s\u00e3o obtidos somando os dois n\u00fameros da linha anterior que est\u00e3o diretamente acima do valor a ser calculado.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Como_hallar_un_termino_en_el_binomio_de_Newton\">Como encontrar um termo no bin\u00f4mio de Newton?<\/span><\/h2>\n<p> Para encontrar um termo espec\u00edfico no bin\u00f4mio de Newton, a f\u00f3rmula geral \u00e9 usada: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"211\" height=\"67\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-binomiale-de-newton.webp\" data-src=\"\" alt=\"F\u00f3rmula binomial de Newton\" class=\"wp-image-11667 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ouro:<\/p>\n<p> aeb s\u00e3o os coeficientes do bin\u00f4mio.<\/p>\n<p> n \u00e9 o expoente do bin\u00f4mio.<\/p>\n<p> k \u00e9 o termo espec\u00edfico que queremos encontrar.<\/p>\n<p> \u03a3 representa a soma de k=0 a n.<\/p>\n<p> [nk] \u00e9 o coeficiente binomial calculado pela seguinte f\u00f3rmula: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"89\" height=\"48\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-du-coefficient-binomial.webp\" data-src=\"\" alt=\"F\u00f3rmula do coeficiente binomial\" class=\"wp-image-11668 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Portanto, a f\u00f3rmula totalmente expandida \u00e9 tal que: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"268\" height=\"67\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/theoreme-binomial.webp\" data-src=\"\" alt=\"Teorema binomial\" class=\"wp-image-11669 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> Exemplo de um bin\u00f4mio de Newton resolvido<\/h3>\n<p> Uma vez encontrados esses valores, eles s\u00e3o substitu\u00eddos na f\u00f3rmula e a express\u00e3o \u00e9 resolvida para obter o termo espec\u00edfico. Por exemplo, se quis\u00e9ssemos encontrar o quinto termo do bin\u00f4mio (2x + 3) <sup>6<\/sup> , ter\u00edamos:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> um = 2x<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> b = 3<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> n=6<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> k = 5<\/p>\n<p> Ent\u00e3o, usando a f\u00f3rmula: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"230\" height=\"61\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-binome-de-newton.webp\" data-src=\"\" alt=\"Exemplo do bin\u00f4mio de Newton\" class=\"wp-image-11670 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> O quinto termo corresponde a k=5, portanto temos: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"359\" height=\"65\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/comment-faire-le-binome-de-newton.webp\" data-src=\"\" alt=\"Como fazer o bin\u00f4mio de Newton\" class=\"wp-image-11671 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Portanto, o quinto termo do bin\u00f4mio (2x + 3) <sup>6<\/sup> \u00e9 2916x.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Que_es_un_binomio_de_Newton_de_grado_5\">O que \u00e9 um bin\u00f4mio de Newton de grau 5?<\/span><\/h2>\n<p> Um bin\u00f4mio de Newton de grau 5 \u00e9 uma express\u00e3o alg\u00e9brica da forma (a + b) <sup>5<\/sup> , onde &#8220;a&#8221; e &#8220;b&#8221; s\u00e3o vari\u00e1veis e o <strong>expoente 5 indica o grau do bin\u00f4mio<\/strong> . Expandindo esta express\u00e3o, obtemos um polin\u00f4mio quadr\u00e1tico que possui seis termos:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> (a + b) <sup>5<\/sup> = a <sup>5<\/sup> + 5a <sup>4<\/sup> b + 10a <sup>3<\/sup> b <sup>2<\/sup> + 10a <sup>2<\/sup> b <sup>3<\/sup> + 5ab <sup>4<\/sup> + b <sup>5<\/sup><\/p>\n<p> Cada termo deste polin\u00f4mio \u00e9 obtido combinando os coeficientes do bin\u00f4mio com as pot\u00eancias de \u201ca\u201d e \u201cb\u201d. Por exemplo, o segundo termo (5a <sup>4<\/sup> b) \u00e9 obtido multiplicando o coeficiente binomial (5 escolha 1 = 5) por \u201ca\u201d elevado \u00e0 quarta pot\u00eancia e por b elevado \u00e0 primeira pot\u00eancia.<\/p>\n<p> Os bin\u00f4mios de grau 5 de Newton s\u00e3o \u00fateis em diferentes ramos da matem\u00e1tica e da f\u00edsica, como estat\u00edstica, teoria das probabilidades e mec\u00e2nica qu\u00e2ntica.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Cuales_son_las_aplicaciones_del_binomio_de_Newton\">Quais s\u00e3o as aplica\u00e7\u00f5es do bin\u00f4mio de Newton?<\/span><\/h2>\n<p> O bin\u00f4mio de Newton tem uma ampla variedade de aplica\u00e7\u00f5es em v\u00e1rios campos, incluindo:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>C\u00e1lculo de probabilidades<\/strong> : O teorema binomial \u00e9 usado para <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/como-calcular-probabilidades\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">calcular as probabilidades<\/a> de eventos binomiais, como o lan\u00e7amento de uma moeda ou o sucesso ou fracasso de uma s\u00e9rie de testes.<\/li>\n<li> <strong>Teoria dos N\u00fameros<\/strong> \u2013 O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 usado para expandir polin\u00f4mios e simplificar equa\u00e7\u00f5es na teoria dos n\u00fameros.<\/li>\n<li> <strong>Estat\u00edstica<\/strong> : O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 usado para calcular distribui\u00e7\u00f5es binomiais e na constru\u00e7\u00e3o de intervalos de confian\u00e7a.<\/li>\n<li> <strong>F\u00edsica<\/strong> \u2013 Na f\u00edsica, o teorema binomial \u00e9 utilizado na teoria da relatividade e na mec\u00e2nica qu\u00e2ntica, entre outras \u00e1reas.<\/li>\n<li> <strong>Economia e Finan\u00e7as<\/strong> : O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 usado para calcular o valor atual e futuro dos fluxos de caixa ao longo do tempo e na avalia\u00e7\u00e3o de op\u00e7\u00f5es financeiras.<\/li>\n<li> <strong>Programa\u00e7\u00e3o e ci\u00eancia da computa\u00e7\u00e3o<\/strong> : o bin\u00f4mio de Newton \u00e9 usado no desenvolvimento de algoritmos e programa\u00e7\u00e3o de computadores.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Por_que_es_importante_el_binomio_de_Newton\">Por que o bin\u00f4mio de Newton \u00e9 importante?<\/span><\/h2>\n<p> O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 relevante porque \u00e9 uma ferramenta matem\u00e1tica fundamental para o <strong>desenvolvimento da \u00e1lgebra e da teoria dos n\u00fameros<\/strong> . Permite calcular o resultado da quadratura ou qualquer outra pot\u00eancia de um bin\u00f4mio, o que \u00e9 muito \u00fatil para resolver equa\u00e7\u00f5es e simplificar express\u00f5es alg\u00e9bricas.<\/p>\n<p> Al\u00e9m disso, possui aplica\u00e7\u00f5es em \u00e1reas como <strong>estat\u00edstica, probabilidade e f\u00edsica<\/strong> , entre outras. Em resumo, o bin\u00f4mio de Newton \u00e9 um conceito essencial em matem\u00e1tica e compreend\u00ea-lo \u00e9 crucial para o progresso em muitos campos de estudo.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Existen_otras_formas_de_expresar_el_binomio_de_Newton\">Existem outras maneiras de expressar o bin\u00f4mio de Newton?<\/span><\/h2>\n<p> Sim, existem outras maneiras de expressar o bin\u00f4mio de Newton. Por exemplo, pode ser expresso em <strong>termos de coeficientes binomiais<\/strong> usando nota\u00e7\u00e3o combinat\u00f3ria.<\/p>\n<p> Al\u00e9m disso, pode ser expresso em termos de fun\u00e7\u00f5es exponenciais e fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas usando a f\u00f3rmula de Euler. Da mesma forma, em termos de fun\u00e7\u00e3o gama usando a f\u00f3rmula de Legendre. Estas express\u00f5es alternativas podem ser \u00fateis em diferentes contextos e problemas matem\u00e1ticos.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Ejemplos_de_binomio_de_Newton\">Exemplos binomiais de Newton<\/span><\/h2>\n<p> Vejamos ent\u00e3o alguns exemplos simples de aplica\u00e7\u00e3o do bin\u00f4mio de Newton.<\/p>\n<p> <strong>Exemplo 1:<\/strong> Calcule o termo de ordem 3 na expans\u00e3o de (x + y) <sup>5<\/sup> .<\/p>\n<p> <strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Na expans\u00e3o de (x + y) <sup>5<\/sup> , o coeficiente do primeiro termo \u00e9 1, o coeficiente do segundo termo \u00e9 5, o coeficiente do terceiro termo \u00e9 10, o coeficiente do quarto termo \u00e9 10, o o coeficiente do quinto termo \u00e9 5 e o coeficiente do sexto termo \u00e9 1.<\/p>\n<p> O prazo da ordem 3 \u00e9, portanto:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> 10x <sup>2<\/sup> e <sup>3<\/sup><\/p>\n<p> <strong>Exemplo 2:<\/strong> Encontre o termo independente na expans\u00e3o de (2x \u2013 1) <sup>4<\/sup> .<\/p>\n<p> <strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Na expans\u00e3o de (2x \u2013 1) <sup>4<\/sup> , o termo independente \u00e9 encontrado na combina\u00e7\u00e3o (2x) <sup>p<\/sup> (-1) <sup>(4-p)<\/sup> , onde p \u00e9 o valor que forma o expoente de (2x) <sup>p<\/sup> e (-1) <sup>(4-p)<\/sup> soma 4.<\/p>\n<p> O termo independente \u00e9, portanto:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> (2x) <sup>2<\/sup> (-1) <sup>2<\/sup> = 4<\/p>\n<p> <strong>Exemplo 3:<\/strong> Encontre o termo de maior grau na expans\u00e3o de (3x \u2013 2y) <sup>6<\/sup> .<\/p>\n<p> <strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> O termo de maior grau na expans\u00e3o de (3x \u2013 2y) <sup>6<\/sup> \u00e9 encontrado na combina\u00e7\u00e3o (3x) <sup>p<\/sup> (-2y) <sup>(6-p)<\/sup> , onde p \u00e9 o valor que forma o expoente de (3x) <sup>p<\/sup> e (-2y) <sup>(6-p)<\/sup> igual ao grau do bin\u00f4mio, que \u00e9 6.<\/p>\n<p> Portanto, o termo de maior grau \u00e9:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> (3x) <sup>3<\/sup> (-2y) <sup>3<\/sup> = -216x <sup>3<\/sup> e <sup>3<\/sup><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>O bin\u00f4mio de Newton \u00e9 uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica usada para expressar a soma de dois termos elevados a uma determinada pot\u00eancia . 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