{"id":14,"date":"2023-09-17T11:11:04","date_gmt":"2023-09-17T11:11:04","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/operacoes-com-funcoes-soma-subtracao-produto-divisao\/"},"modified":"2023-09-17T11:11:04","modified_gmt":"2023-09-17T11:11:04","slug":"operacoes-com-funcoes-soma-subtracao-produto-divisao","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/operacoes-com-funcoes-soma-subtracao-produto-divisao\/","title":{"rendered":"Opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es: adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, produto, divis\u00e3o e composi\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

Neste artigo explicamos quais opera\u00e7\u00f5es podem ser realizadas com fun\u00e7\u00f5es. Voc\u00ea poder\u00e1 ver a explica\u00e7\u00e3o e tamb\u00e9m exerc\u00edcios resolvidos sobre opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es. E por fim, voc\u00ea encontrar\u00e1 as propriedades das opera\u00e7\u00f5es com as fun\u00e7\u00f5es. <\/p>\n

<\/span> O que s\u00e3o opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es?<\/span><\/h2>\n

Voc\u00ea pode realizar 5 tipos diferentes de opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es: adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, produto, divis\u00e3o e composi\u00e7\u00e3o.<\/strong> Ou seja, duas fun\u00e7\u00f5es podem ser somadas, subtra\u00eddas, multiplicadas, divididas ou compostas.<\/p>\n

A seguir veremos como \u00e9 realizado cada tipo de opera\u00e7\u00e3o com fun\u00e7\u00f5es e as caracter\u00edsticas de cada uma delas.<\/p>\n

<\/span> Soma de fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/h3>\n

O valor da soma (ou adi\u00e7\u00e3o) de duas fun\u00e7\u00f5es<\/strong> \u00e9 igual \u00e0 soma do valor de cada fun\u00e7\u00e3o. Ou seja, para calcular a imagem de uma fun\u00e7\u00e3o soma, basta somar as imagens das fun\u00e7\u00f5es envolvidas na opera\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n

\"(f+g)(x)=f(x)+g(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Al\u00e9m disso, o dom\u00ednio da soma de duas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 a intersec\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o somada.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f+g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)\"<\/p>\n<\/p>\n

Vamos ver como duas fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o adicionadas usando um exemplo:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+1<\/p>\n<\/p>\n

Primeiro adicionamos as duas fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\\log(x-1)\"<\/p>\n<\/p>\n

E agora encontramos o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o soma. Para fazer isso, calculamos o dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o separadamente:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=(1,+\\infty)\"<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> como calcular o dom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o<\/a><\/span><\/p>\n

Ent\u00e3o, o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o resultante da opera\u00e7\u00e3o ser\u00e1:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f+g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)=(1,+\\infty)\"<\/p>\n<\/p>\n

Cada opera\u00e7\u00e3o com fun\u00e7\u00f5es deve vir acompanhada de seu dom\u00ednio para definir completamente o resultado.<\/p>\n

<\/span> Subtra\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/h3>\n

A imagem da subtra\u00e7\u00e3o (ou diferen\u00e7a) de duas fun\u00e7\u00f5es<\/strong> \u00e9 a subtra\u00e7\u00e3o das imagens de cada fun\u00e7\u00e3o participante da opera\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f-g)(x)=f(x)-g(x)\"<\/p>\n<\/p>\n

Tal como acontece com a fun\u00e7\u00e3o de adi\u00e7\u00e3o, o dom\u00ednio de subtra\u00e7\u00e3o de duas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 equivalente \u00e0 intersec\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f-g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)\"<\/p>\n<\/p>\n

Assim, se uma fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o for definida em um determinado valor da vari\u00e1vel independente x, a fun\u00e7\u00e3o resultante da subtra\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m n\u00e3o ser\u00e1 definida.<\/p>\n

Vamos ver como duas fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o subtra\u00eddas atrav\u00e9s de um exemplo:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt{x}\\qquad<\/p>\n<\/p>\n

Primeiro subtra\u00edmos as duas fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\\sqrt{x}-\\cfrac{3}{x-4}\"<\/p>\n<\/p>\n

E ent\u00e3o determinamos o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o de subtra\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=[0,+\\infty)\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}-\\{4\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f-g)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)=[0,4)\\cup<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Produto principal<\/span><\/h3>\n

Para calcular o produto ou (a multiplica\u00e7\u00e3o) de duas fun\u00e7\u00f5es<\/strong> , basta multiplicar as express\u00f5es de cada fun\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n

\"(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o produto \u00e9 o conjunto de interse\u00e7\u00f5es do dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o multiplicada.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

Por exemplo, se tivermos as duas fun\u00e7\u00f5es a seguir:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=\\sqrt[3]{x^2-1}\\qquad<\/p>\n<\/p>\n

Primeiramente realizamos o funcionamento do produto com as duas fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

E, por fim, encontramos o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o resultante da opera\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}-\\{-2\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Distribui\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/h3>\n

O resultado num\u00e9rico de uma divis\u00e3o (ou quociente) de duas fun\u00e7\u00f5es<\/strong> corresponde \u00e0 seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}\"<\/p>\n<\/p>\n

Por\u00e9m, o dom\u00ednio de divis\u00e3o de duas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 o conjunto de interse\u00e7\u00f5es do dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o menos todo o x que anula a fun\u00e7\u00e3o que atua como divisor, pois caso contr\u00e1rio obter\u00edamos uma indetermina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\text{Dom}\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)-\\{x:g(x)=0\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

Como exemplo, dividiremos as seguintes fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=5^x<\/p>\n<\/p>\n

A distribui\u00e7\u00e3o das fun\u00e7\u00f5es \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\frac{f(x)}{g(x)}=\\cfrac{5^x}{x-3}\"<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, o dom\u00ednio de cada fun\u00e7\u00e3o separadamente consiste em todos os n\u00fameros reais<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(f)=\\mathbb{R}\\qquad\\text{Dom}(g)=\\mathbb{R}\"<\/p>\n<\/p>\n

Por\u00e9m, como n\u00e3o pode haver zero no denominador de uma fra\u00e7\u00e3o, no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o resultante devemos retirar todos os valores que anulam o denominador (x=3). <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\text{Dom}\\left(\\frac{f}{g}\\right)(x)=\\text{Dom}(f)\\cap\\text{Dom}(g)-\\{x:g(x)=0\\}=\\mathbb{R}-\\{3\\}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/h3>\n

A composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es \u00e9 a opera\u00e7\u00e3o mais dif\u00edcil de resolver, pois \u00e9 o conceito mais complicado.<\/p>\n

A composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/strong> consiste na aplica\u00e7\u00e3o sucessiva de duas fun\u00e7\u00f5es. Algebricamente, a composi\u00e7\u00e3o de duas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 expressa da seguinte forma:<\/p>\n<\/p>\n

\"(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Por outro lado, o dom\u00ednio de composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/p>\n<\/p>\n

\"(g\\circ<\/p>\n

\u00e9 equivalente ao conjunto de todos os valores de x no dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\"f\"<\/p>\n

como<\/p>\n

\"f(x)\"<\/p>\n

pertence ao dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\"g.\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Por exemplo, dadas as duas fun\u00e7\u00f5es a seguir:<\/p>\n<\/p>\n

\"f(x)=x^2+1<\/p>\n<\/p>\n

Para encontrar a fun\u00e7\u00e3o composta<\/p>\n<\/p>\n

\"f\"<\/p>\n

seguido pela<\/p>\n

\"g\"<\/p>\n

precisamos substituir a express\u00e3o de<\/p>\n

\"f(x)\"<\/p>\n

onde h\u00e1 um<\/p>\n

\"x\"<\/p>\n

na express\u00e3o de<\/p>\n

\"g(x):\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Neste caso, o dom\u00ednio de ambas as fun\u00e7\u00f5es consiste inteiramente em n\u00fameros reais, portanto o dom\u00ednio da fun\u00e7\u00e3o composta tamb\u00e9m consistir\u00e1 em n\u00fameros reais.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\text{Dom}(g\\circ<\/p>\n<\/p>\n

Como voc\u00ea pode ver, compor fun\u00e7\u00f5es n\u00e3o \u00e9 uma opera\u00e7\u00e3o simples de entender. Portanto, recomendamos que voc\u00ea pratique os seguintes exerc\u00edcios de composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> exerc\u00edcios resolvidos sobre composi\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/a><\/span> <\/p>\n

<\/span> Propriedades de opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/h2>\n

De todas as opera\u00e7\u00f5es com fun\u00e7\u00f5es, a soma e o produto s\u00e3o caracterizados pelas seguintes propriedades:<\/p>\n