{"id":124,"date":"2023-07-16T19:06:07","date_gmt":"2023-07-16T19:06:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/pt\/funcoes-polinomiais\/"},"modified":"2023-07-16T19:06:07","modified_gmt":"2023-07-16T19:06:07","slug":"funcoes-polinomiais","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/pt\/funcoes-polinomiais\/","title":{"rendered":"Fun\u00e7\u00f5es polinomiais"},"content":{"rendered":"<p>Neste artigo voc\u00ea encontrar\u00e1 uma explica\u00e7\u00e3o muito detalhada sobre <strong>fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong> , complementada por exemplos. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver como as fun\u00e7\u00f5es polinomiais s\u00e3o utilizadas no dia a dia gra\u00e7as aos exerc\u00edcios que apresentaremos no final.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"que-es-una-funcion-polinomica\"> <span id=\"Que_es_una_funcion_polinomica\">O que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o polinomial?<\/span><\/h2>\n<p> <strong>Fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong> ou <strong>fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong> s\u00e3o fun\u00e7\u00f5es dadas por uma express\u00e3o alg\u00e9brica equivalente a um <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/polinomial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">polin\u00f4mio<\/a> . Isso significa que a express\u00e3o deve seguir a estrutura de um polin\u00f4mio: f(x) = a <sub>0<\/sub> + a <sub>1<\/sub> x + a <sub>2<\/sub> x <sup>2<\/sup> + a <sub>3<\/sub> x <sup>3<\/sup> + \u2026 + a <sub>n<\/sub> x <sup>n<\/sup> , dependendo da estrutura da qual iremos determinar o tipo de fun\u00e7\u00e3o polinomial que iremos processar. Outra caracter\u00edstica muito relevante destas fun\u00e7\u00f5es \u00e9 que todos os seus expoentes das inc\u00f3gnitas s\u00e3o <strong>positivos e inteiros<\/strong> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"partes-de-una-funcion-polinomica\"> Partes de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial<\/h3>\n<p> Podemos destacar tr\u00eas elementos importantes em rela\u00e7\u00e3o a essas fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Coeficientes polinomiais:<\/strong> s\u00e3o os n\u00fameros que acompanham as inc\u00f3gnitas, por exemplo o 3 do seguinte termo \u00e9 um coeficiente: 3x <sup>2<\/sup> . Deve-se notar que existem tantos coeficientes quantos termos no polin\u00f4mio.<\/li>\n<li> <strong>Expoentes ou \u00edndices do polin\u00f4mio:<\/strong> s\u00e3o as pot\u00eancias das inc\u00f3gnitas, por exemplo o 2 do seguinte termo \u00e9 um expoente: 3x <sup>2<\/sup> . E como j\u00e1 explicamos, no caso de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial, ser\u00e3o sempre positivas e inteiras.<\/li>\n<li> <strong>Grau do polin\u00f4mio:<\/strong> este valor equivale ao expoente do maior grau entre todos os termos que comp\u00f5em o polin\u00f4mio. No caso do polin\u00f4mio f(x) = 3x <sup>2<\/sup> \u2013 4x + 2, o grau \u00e9 igual a dois.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-saber-si-una-funcion-es-polinomial-o-no\"> <span id=\"Como_saber_si_una_funcion_es_polinomial_o_no\">Como saber se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 polinomial ou n\u00e3o?<\/span><\/h2>\n<p> Para identificar uma fun\u00e7\u00e3o polinomial, devemos verificar se ela atende \u00e0s caracter\u00edsticas que acabamos de falar. Come\u00e7aremos verificando se a express\u00e3o que define a fun\u00e7\u00e3o tem <strong>estrutura polinomial<\/strong> : f(x) = a <sub>0<\/sub> + a <sub>1<\/sub> x + a <sub>2<\/sub> x <sup>2<\/sup> + a <sub>3<\/sub> x <sup>3<\/sup> + \u2026 + a <sub>n<\/sub> x <sup>n<\/sup> . E a seguir verificaremos se os \u00edndices s\u00e3o positivos e inteiros, com estes passos simples poderemos determinar se uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 polinomial ou n\u00e3o.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"tipos-de-funciones-polinomicas-con-ejemplos\"> <span id=\"Tipos_de_funciones_polinomicas_con_ejemplos\">Tipos de fun\u00e7\u00f5es polinomiais com exemplos<\/span><\/h2>\n<p> A seguir mostraremos os diferentes <strong>tipos de fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/strong> existentes, que s\u00e3o classificadas de acordo com o grau do polin\u00f4mio. Al\u00e9m disso, voc\u00ea encontrar\u00e1 um exemplo de representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica para cada tipo. Gra\u00e7as a estes exemplos de fun\u00e7\u00f5es polinomiais voc\u00ea poder\u00e1 ver melhor as diferen\u00e7as entre as diferentes categorias.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"funciones-constantes\"> fun\u00e7\u00f5es constantes<\/h3>\n<p> <strong>Fun\u00e7\u00f5es constantes<\/strong> equivalem a um polin\u00f4mio de grau 0, isso significa que o coeficiente de x \u00e9 0. \u00c9 por isso que fun\u00e7\u00f5es deste tipo n\u00e3o dependem do valor da vari\u00e1vel independente x. Portanto, sua representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica \u00e9 uma linha horizontal, que \u00e9 infinita. Abaixo voc\u00ea encontra o exemplo f(x) = 3 representado: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"492\" height=\"265\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-constantes-1.webp\" data-src=\"\" alt=\"fun\u00e7\u00f5es constantes\" class=\"wp-image-7329 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"funciones-polinomicas-de-primer-grado\"> fun\u00e7\u00f5es polinomiais de primeiro grau<\/h3>\n<p> Em segundo lugar, encontramos as <strong>fun\u00e7\u00f5es polinomiais de primeiro grau<\/strong> , que s\u00e3o dadas por um polin\u00f4mio de grau 1 com a seguinte estrutura: f(x) = mx + n. Esta express\u00e3o \u00e9 composta por um n\u00famero denominado inclina\u00e7\u00e3o (m) que multiplica a vari\u00e1vel xy por uma constante (n) que \u00e9 adicionada a este produto. Assim, com base nos valores de m e n, podemos identificar tr\u00eas tipos diferentes de fun\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Fun\u00e7\u00f5es afins:<\/strong> este subtipo se caracteriza por possuir um valor de n diferente de 0, ou seja, o valor do computador \u00e9 diferente de 0. Portanto, esse tipo de fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o passa pelo ponto (0, 0), tamb\u00e9m chamado a origem. Comente tamb\u00e9m que se m &lt; 0, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 decrescente, enquanto se m &gt; 0, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 crescente.<\/li>\n<li> <strong>Fun\u00e7\u00f5es lineares:<\/strong> A \u00fanica distin\u00e7\u00e3o que essas fun\u00e7\u00f5es t\u00eam das fun\u00e7\u00f5es afins \u00e9 que n = 0, portanto n\u00e3o possuem computador. Portanto, a express\u00e3o para fun\u00e7\u00f5es lineares \u00e9 equivalente a f(x) = mx. Este tipo \u00e9 bastante f\u00e1cil de representar, pois passa sempre pelo ponto (0, 0) e a partir da inclina\u00e7\u00e3o j\u00e1 obtemos o gr\u00e1fico.<\/li>\n<li> <strong>Fun\u00e7\u00f5es identidade:<\/strong> este \u00faltimo tipo \u00e9 um subgrupo de fun\u00e7\u00f5es lineares, onde an = 0 e m = 1. Isso significa que a express\u00e3o permanece f(x) = x, com a qual a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica \u00e9 uma diagonal que forma um \u00e2ngulo de 45\u00ba com um dos eixos. Este tipo de fun\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m passa pelo ponto de origem (0, 0).<\/li>\n<\/ul>\n<p> Abaixo, voc\u00ea encontrar\u00e1 um exemplo de fun\u00e7\u00e3o polinomial de primeiro grau, mais precisamente uma fun\u00e7\u00e3o afim f(x) = 3x + 2: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-medium\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"500\" height=\"325\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-polynomiales-du-premier-degre.webp\" data-src=\"\" alt=\"fun\u00e7\u00f5es polinomiais de primeiro grau\" class=\"wp-image-7333 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"funciones-cuadraticas\"> fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas<\/h3>\n<p> <strong>Fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas<\/strong> ou <strong>fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas<\/strong> s\u00e3o expressas por meio de polin\u00f4mios quadr\u00e1ticos, que seguem a estrutura: f(x) = ax <sup>2<\/sup> + bx + c, onde a \u00e9 diferente de 0. Nesse caso, a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica \u00e9 muito mais complexa, pois \u00e9 n\u00e3o mais uma linha reta, mas uma <strong>par\u00e1bola vertical<\/strong> . Abaixo voc\u00ea encontra a representa\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o quadr\u00e1tica f(x) = 2x <sup>2<\/sup> + 4x \u2013 1: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"229\" height=\"254\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-quadratiques.webp\" data-src=\"\" alt=\"fun\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas\" class=\"wp-image-7335 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"funciones-cubicas\"> fun\u00e7\u00f5es c\u00fabicas<\/h3>\n<p> <strong>Fun\u00e7\u00f5es c\u00fabicas<\/strong> ou <strong>fun\u00e7\u00f5es de terceiro grau<\/strong> s\u00e3o dadas por um polin\u00f4mio de grau tr\u00eas: f(x) = ax <sup>3<\/sup> + bx <sup>2<\/sup> + cx + d, sendo diferente de 0. A representa\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o deste estilo \u00e9 ainda mais complexa que o de segundo grau, pois pode assumir diversas formas diferentes. Embora a forma b\u00e1sica, ou pelo menos a mais comum, seja a que mostraremos no exemplo a seguir, f(x) = 2x <sup>3<\/sup> \u2013 4x <sup>2<\/sup> + 2x \u2013 2: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"339\" height=\"250\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-cubiques.webp\" data-src=\"\" alt=\"fun\u00e7\u00f5es c\u00fabicas\" class=\"wp-image-7336 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"propiedades-de-las-funciones-polinomicas\"> <span id=\"Propiedades_de_las_funciones_polinomicas\">Propriedades de fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/span><\/h2>\n<p> As fun\u00e7\u00f5es polinomiais possuem uma s\u00e9rie de <strong>propriedades ou caracter\u00edsticas<\/strong> que as distinguem de outras fun\u00e7\u00f5es, e as detalharemos da forma mais clara poss\u00edvel a seguir. Desta forma, ao ver fun\u00e7\u00f5es como esta, ser\u00e1 muito f\u00e1cil identific\u00e1-las:<\/p>\n<ul>\n<li> O dom\u00ednio de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial \u00e9 igual a todos <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/numeros-reais\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">os n\u00fameros reais<\/a> : Dom f = R ou Dom f = (-\u221e, \u221e), portanto s\u00e3o cont\u00ednuos em todo o conjunto dos n\u00fameros reais.<\/li>\n<li> Seu ponto de interse\u00e7\u00e3o no eixo Y \u00e9 equivalente a (0, a <sub>0<\/sub> ), sendo <sub>0<\/sub> o termo independente.<\/li>\n<li> Corta ao longo do eixo X um n\u00famero de vezes igual ou menor que o grau do polin\u00f4mio.<\/li>\n<li> Fun\u00e7\u00f5es polinomiais n\u00e3o possuem ass\u00edntotas.<\/li>\n<li> Se o expoente de todos os termos for \u00edmpar, ent\u00e3o o gr\u00e1fico ser\u00e1 sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem das coordenadas, enquanto se o expoente de todos os termos for par, ser\u00e1 sim\u00e9trico em rela\u00e7\u00e3o ao eixo OY.<\/li>\n<li> O n\u00famero de pontos de inflex\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o deste estilo \u00e9 igual ou menor que n \u2013 2, onde n \u00e9 o grau.<\/li>\n<li> O n\u00famero de m\u00e1ximos e m\u00ednimos relativos de uma fun\u00e7\u00e3o deste estilo \u00e9 igual ou menor que n \u2013 1, onde n \u00e9 o grau.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"como-se-analiza-una-funcion-polinomica\"> <span id=\"Como_se_analiza_una_funcion_polinomica\">Como voc\u00ea analisa uma fun\u00e7\u00e3o polinomial?<\/span><\/h2>\n<p> Para <strong>analisar uma fun\u00e7\u00e3o polinomial,<\/strong> devemos seguir o mesmo procedimento que usar\u00edamos para analisar qualquer outra fun\u00e7\u00e3o. Na lista a seguir resumimos os diferentes elementos que devem ser estudados ou tratados:<\/p>\n<ul>\n<li> Dom\u00ednio e alcance<\/li>\n<li> Pontos de intersec\u00e7\u00e3o com os eixos horizontal e vertical<\/li>\n<li> Monotonia (aumento e diminui\u00e7\u00e3o, m\u00e1ximos e m\u00ednimos)<\/li>\n<li> Curvatura (em fun\u00e7\u00f5es de grau maior que um)<\/li>\n<\/ul>\n<p> Obviamente, podemos levar a an\u00e1lise a outro n\u00edvel e estudar muitos outros elementos, embora isso deva ser suficiente. Pois, conhecendo esses elementos, voc\u00ea ter\u00e1 uma <strong>ideia clara<\/strong> de como \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o e poder\u00e1 represent\u00e1-la graficamente.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicios-de-funciones-polinomicas\"> <span id=\"Ejercicios_de_funciones_polinomicas\">Exerc\u00edcios sobre fun\u00e7\u00f5es polinomiais<\/span><\/h2>\n<p> A seguir, oferecemos uma s\u00e9rie de exerc\u00edcios para praticar <a href=\"https:\/\/mathority.org\/pt\/como-representar-funcoes\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">a representa\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es<\/a> , em particular fun\u00e7\u00f5es polinomiais. Desta forma voc\u00ea consolidar\u00e1 todos os conceitos explicados neste artigo:<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicio-1\"> Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n<p> <strong>Fa\u00e7a um gr\u00e1fico da seguinte fun\u00e7\u00e3o polinomial de primeiro grau f(x) = x + 2 e diga de que tipo ela \u00e9:<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"342\" height=\"232\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/fonctions-polynomiales-exercices-resolus.webp\" data-src=\"\" alt=\"Exerc\u00edcios resolvidos de fun\u00e7\u00f5es polinomiais\" class=\"wp-image-7337 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \u00c9 uma fun\u00e7\u00e3o polinomial afim de primeiro grau, porque \u00e9 diferente de 0 e m \u00e9 diferente de 0.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicio-2\"> Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n<p> <strong>Fa\u00e7a um gr\u00e1fico da seguinte fun\u00e7\u00e3o polinomial quadr\u00e1tica f(x) = x <sup>2<\/sup> + x \u2013 2:<\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"332\" height=\"259\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-dune-fonction-polynomiale-quadratique.webp\" data-src=\"\" alt=\"Representa\u00e7\u00e3o de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial quadr\u00e1tica\" class=\"wp-image-7338 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"ejercicio-3\"> Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n<p> <strong><strong>Fa\u00e7a um gr\u00e1fico da seguinte fun\u00e7\u00e3o polinomial de terceiro grau f(x) = x <sup>2<\/sup> + x \u2013 2:<\/strong><\/strong> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"374\" height=\"262\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/representation-graphique-dune-fonction-polynomiale-du-troisieme-degre.webp\" data-src=\"\" alt=\"Representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de uma fun\u00e7\u00e3o polinomial de terceiro grau\" class=\"wp-image-7339 lazyload\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Neste artigo voc\u00ea encontrar\u00e1 uma explica\u00e7\u00e3o muito detalhada sobre fun\u00e7\u00f5es polinomiais , complementada por exemplos. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 ver como as fun\u00e7\u00f5es polinomiais s\u00e3o utilizadas no dia a dia gra\u00e7as aos exerc\u00edcios que apresentaremos no final. O que \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o polinomial? 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