Trinômio ao quadrado

Nesta página explicamos como resolver o quadrado de um trinômio (fórmula). Além disso, você poderá ver diversos exemplos e praticar com exercícios resolvidos passo a passo de trinômios quadrados.

Fórmula para um trinômio quadrado

Logicamente, para entender a fórmula do trinômio ao quadrado, primeiro você precisa saber o que é um trinômio . Deixo este link caso você queira revisá-lo antes de continuar com a explicação.

Um trinômio ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o terceiro, mais duas vezes o segundo para o terceiro.

quadrado de um trinômio ou trinômio ao quadrado

O quadrado de um trinômio é tão importante porque é um produto notável (ou identidade notável), ou seja, existe uma fórmula matemática que permite calcular rapidamente esta operação. Clique no link a seguir para ver quais são todas as fórmulas de produtos notáveis .

Exemplos de trinômios quadrados

Depois de vermos qual é a fórmula de um trinômio quadrado, veremos vários exemplos de cálculo do quadrado de um trinômio:

Exemplo 1

Calcule a seguinte potência de um trinômio quadrado:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

A fórmula do quadrado de um trinômio é:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Portanto, devemos primeiro identificar os valores dos parâmetros

$a,b$

$c$

da fórmula. Neste exercício

$a$

Leste

$x^2,$

o coeficiente

$b$

corresponder ao

$x,$

$c$

é o termo independente 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

E quando já sabemos os valores, basta substituir esses valores na fórmula e fazer os cálculos:

Por outro lado, deve-se notar que um trinômio quadrado não é a mesma coisa que um trinômio quadrado perfeito . Esse é um erro comum, pois muitas pessoas se confundem com esses dois conceitos. Você pode ver as diferenças entre esses dois tipos de trinômios no link deste parágrafo.

Exemplo 2

Encontre o próximo quadrado de um trinômio:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

Para determinar esta potência polinomial, devemos aplicar a fórmula para um trinômio elevado a dois:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Neste problema,

$a$

Isto é equivalente a

$x^2,$

$b$

corresponde ao monômio negativo

$-2x,$

$c$

é o número 4:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

Então substituímos os valores encontrados na fórmula e resolvemos as operações resultantes:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

Lembre-se de que a potência com expoente par de base negativa dá um termo positivo, então

$(-2x)^2$

é igual a

$4x^2.$

Agora que você viu como é calculado o quadrado de um trinômio, provavelmente também terá interesse em saber como resolver o produto da soma pela diferença de dois termos. Na verdade, ele está entre as 3 principais identidades notáveis (mais importantes). Você pode ver qual é sua fórmula e como ela é aplicada na página vinculada.

Demonstração da fórmula do quadrado de um trinômio

Para finalizar a compreensão da noção de potência de um trinômio ao quadrado, deduziremos a fórmula que acabamos de estudar.

De qualquer trinômio elevado a 2:

$(a+b+c)^2$

A expressão algébrica acima equivale a multiplicar o trinômio entre parênteses por ele mesmo:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Agora vamos multiplicar os dois trinômios:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

Por fim, agrupamos termos semelhantes:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

E desta forma já chegamos à expressão da fórmula, então fica demonstrada a fórmula do quadrado de um trinômio:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Em nosso site temos mais demonstrações de identidades notáveis. Por exemplo, você pode ver a demonstração da fórmula para uma soma quadrada e uma diferença quadrada . Além disso, nestes links você verá não apenas suas provas, mas também a interpretação geométrica de suas fórmulas, ou seja, o que esses tipos de identidades notáveis significam geometricamente.

Problemas resolvidos de trinômios quadrados

Resolva os seguintes trinômios quadrados:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

veja solução

Para resolver todos os exercícios, devemos utilizar a fórmula do quadrado de um trinômio, que é:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

Fórmula para um trinômio quadrado

Exemplos de trinômios quadrados

Exemplo 1

Exemplo 2

Demonstração da fórmula do quadrado de um trinômio

Problemas resolvidos de trinômios quadrados

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