Binômio quarto - Matoridade

Nesta página você encontrará a fórmula de um binômio elevado a quatro, e explicamos como resolver este tipo de operação binomial com exemplos. Além disso, você poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo pelos colegas até a quarta série.

Fórmula binomial trimestral

Em matemática, um binômio elevado a quatro é um polinômio composto por dois termos elevado à 4ª.

Assim, a fórmula utilizada para calcular um trimestre binomial é a seguinte:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Esta fórmula pode ser derivada da fórmula binomial geral de Newton . Na verdade, com o binômio de Newton você pode calcular binômios elevados a qualquer potência, então é melhor aprender a fórmula binomial de Newton. Clique no link anterior e descubra como é essa fórmula.

Portanto, um binômio no quarto é igual ao primeiro termo elevado ao quarto, mais o produto de 4 vezes o primeiro termo ao cubo e o segundo termo, mais o primeiro e o segundo termos ao quadrado vezes 6, mais o produto de 4 vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo termo elevado a 3, mais o segundo termo elevado a quarto.

Esta fórmula corresponde à soma binomial (seus dois elementos são positivos), mas na fórmula da subtração binomial elevada ao quarto, os sinais do segundo e quarto produtos são negativos:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Exemplos de colegas na quarta série

Dada a fórmula para este tipo de binômio, veremos vários exemplos de resolução de um binômio elevado a quatro. Primeiro calcularemos um binômio positivo e depois resolveremos um binômio negativo.

Exemplo 1

Calcule o seguinte binômio elevado à quarta:

$(x+2)^4$

A fórmula para a potência de uma soma binomial elevada a 4 é:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Portanto, para calcular o binômio do exercício, basta substituir os dois valores do binômio na fórmula:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

E finalmente resolvemos as operações:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Exemplo 2

Encontre o seguinte binômio elevado à quarta:

$(x-3)^4$

A fórmula de potencialização para um binômio de diferença elevado à 4ª é a seguinte:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Portanto, para determinar o binômio do problema, basta substituir as variáveis da fórmula pelos valores do binômio:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

E finalmente, resolvemos as operações resultantes:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Demonstração da fórmula de um binômio na quarta

Para explorar o conceito de binômio elevado à quarta, demonstraremos sua fórmula de diversas maneiras.

De qualquer par elevado a 4:

$(a+b)^4$

A expressão algébrica de um binômio elevado à quarta pode ser fatorada expandindo-a em fatores primos:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Assim, resolvendo cada produto de polinômios , chegamos à fórmula do binômio elevado à quarta:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Por outro lado, a fórmula de um binômio elevado ao quarto também pode ser verificada usando a fórmula de um binômio elevado ao cubo :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Da mesma forma, a prova pode ser obtida através de produtos notáveis (ou identidades notáveis). Por exemplo, usando a fórmula do produto notável do quadrado de uma soma :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Respectivamente, a notável fórmula de identidade para o quadrado de uma subtração é usada para corroborar a fórmula para uma subtração binomial:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Exercícios resolvidos para colegas da quarta série

Resolva as seguintes potências de binômios elevados à quarta:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

veja solução

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Par em quarto