Tipos de descontinuidades

setembro 17, 2023

O domínio do primeiro elemento da função,

, como o da segunda peça,

, são todos números reais porque são funções polinomiais.

Portanto, o único ponto em que a função pode ser descontínua é o ponto de parada da função por partes. Iremos, portanto, calcular os limites laterais nesta fase:

Os dois limites laterais em x=3 dão resultados diferentes. Portanto, o ponto x=3 é uma inevitável descontinuidade de salto finito.

Exercício 2

Descubra que tipo de descontinuidade a seguinte função racional apresenta em pontos que não pertencem ao seu domínio:

Logicamente, para resolver este exercício, primeiro você deve encontrar o domínio da função. Então, como esta é uma função racional, igualamos o denominador a 0 e resolvemos a equação resultante:

A função será portanto contínua em todos os pontos exceto x=-2, então vamos ver que tipo de descontinuidade é o ponto x=-2. Para fazer isso, calculamos o limite da função no ponto:

Mas obtemos indeterminação zero entre zero, então fatoramos os polinômios do numerador e do denominador e simplificamos:

Agora resolvemos o limite:

Consequentemente, o limite da função no ponto x=-2 existe e dá -4. Agora vamos verificar se existe

No cálculo da imagem de uma função, a indeterminação 0/0 não pode ser simplificada e não tem solução. ENTÃO

não existe.

Concluindo, o limite da função em x=-2 existe, mas

Não. Portanto, x=-2 é uma descontinuidade evitável.

Exercício 3

Analise a continuidade da seguinte função racional:

Para ver se é uma função contínua, devemos primeiro calcular o seu domínio. Portanto, igualamos o denominador da função racional a zero para ver quais pontos não pertencem ao domínio:

A função será, portanto, contínua em todos os pontos, exceto x=5. Então, vamos ver que tipo de descontinuidade x=5 é calculando o limite neste ponto:

Encontramo-nos com a indeterminação de um número dividido por 0. Calculamos, portanto, os limites laterais da função em x=5:

O limite esquerdo da função em x=5 dá menos infinito e o limite direito dá mais infinito. Portanto, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x = 5, uma vez que pelo menos um limite lateral neste ponto tende ao infinito.

Exercício 4

Determine todas as descontinuidades da função por partes mostrada no gráfico a seguir:

Para desenhar a função você deve levantar o lápis em x=-2, em x=1 e em x=4. A função é, portanto, descontínua nestes três pontos.

Em x=-2, o limite do lado esquerdo é +∞ e o limite do lado direito é 3. Assim, como um dos limites laterais é infinito, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x=-2.

O limite da função em x=1 é 0 e, por outro lado, o valor da função em x=1 é igual a 2. A função apresenta portanto uma descontinuidade evitável em x=1.

Em x = 4, o limite do lado esquerdo é -3 e o limite do lado direito é 1. Portanto, como os dois limites laterais são diferentes e nenhum deles dá infinito, a função inevitavelmente tem uma descontinuidade de salto finita em x =4.

Exercício 5

Encontre todas as assíntotas e descontinuidades da função representada no gráfico a seguir:

Assíntotas

A função está muito próxima da linha vertical x=3, mas nunca a toca. Além disso, o limite lateral esquerdo em x=3 é +∞ e o limite lateral direito é -∞. Portanto, x=3 é uma assíntota vertical.

E a mesma coisa acontece com a reta horizontal y=-1, a função chega muito perto de y=-1 mas nunca a cruza. Além disso, o limite da função quando x se aproxima de +∞ e -∞ é -1. Portanto, y=-1 é uma assíntota horizontal.

Descontinuidades

Em x=6 a função é interrompida porque existe um ponto aberto. O limite quando x se aproxima de 6 é -1,4 mas f(6)=1. A função, portanto, tem uma descontinuidade evitável em x=6 porque o valor do limite não coincide com o valor da função:

Em x=-3 os limites laterais não coincidem e nenhum dá o infinito. A função, portanto, tem uma inevitável descontinuidade de salto finito em x=-3.

E finalmente, a função tem uma inevitável descontinuidade de salto infinito em x = 3, uma vez que pelo menos um limite lateral neste ponto resulta no infinito.