Teorema do fator

Nesta página explicamos o que é o teorema do fator. Além disso, mostramos para que serve o teorema do fator: divisibilidade de polinômios, encontrar raízes, fatorar polinômios, etc. Finalmente, você poderá praticar exercícios passo a passo sobre o teorema do fator.

Qual é o teorema do fator?

Em matemática, o teorema do fator diz que um polinômio P(x) é divisível por outro polinômio da forma (xa) se e somente se P(a)=0.

Da mesma forma, como consequência do teorema do fator, segue-se que se um polinômio P(x) é divisível pelo termo (x−a), isso significa que o valor a é uma raiz (ou zero) do polinômio P( x ).

O fato de um polinômio ser divisível por outro significa que o resto (ou resto) da divisão entre os dois polinômios é igual a zero. Caso você não se lembre completamente deste conceito, no link a seguir você poderá ver exemplos de divisão de polinômios , lá você também encontrará a explicação de como dividir polinômios e exercícios resolvidos passo a passo.

Exemplos de teoremas de fator

Agora que conhecemos a definição matemática do teorema do fator, vejamos vários exemplos para ver como ele é aplicado.

Exemplo 1

Uma aplicação do teorema do fator é descobrir se um determinado polinômio é divisível por um binômio . Vejamos um exemplo de como isso é feito com o teorema do fator:

• Determine se o polinômio P(x) é divisível pelo binômio Q(x), sendo ambos:

Primeiro, o polinômio divisor, Q(x), é um polinômio do tipo (xa), portanto podemos aplicar o teorema do fator para resolver o problema.

Então, para verificar se P(x) pode ser dividido por Q(x) precisamos calcular o valor numérico do polinômio P(x) para x=1, já que 1 é o termo independente do polinômio divisor com seu sinal alterado :

O valor numérico do polinômio P(x) em x = 1 dá zero, então de acordo com o teorema do fator P(x) é divisível por Q(x), ou em outras palavras, o resto da divisão por ambos será nulo.

Podemos verificar que a condição de divisibilidade é satisfeita dividindo os 2 polinômios pelo teorema de Ruffini :

Como você pode ver neste exemplo, o teorema do fator é um caso especial do teorema do resto (ou resto). Deixo para vocês este artigo que explica o que é o teorema do resto , você também encontrará exemplos e exercícios resolvidos com ele. E, além do mais, você poderá ver qual é a diferença entre o teorema do resto e o teorema do fator.

Exemplo 2

O teorema do fator também pode ser usado para encontrar as raízes (ou zeros) de um polinômio. Mas, obviamente, para entender esse tipo de problema é preciso saber quais são as raízes de um polinômio . Se você ainda não entende esse conceito, pode dar uma olhada na página do link, que é explicada detalhadamente.

Então, vamos ver através de um exemplo como o teorema do fator é aplicado para encontrar a raiz de um polinômio:

• Dado o polinômio P(x), calcule se uma de suas raízes é x=2:

Aplicando o teorema do fator, o termo x=2 só será raiz do polinômio P(x) se o valor numérico de P(x) para x=2 for zero. Portanto, precisamos encontrar este valor numérico:

Na verdade, o valor numérico do polinômio P(x) desaparece em x=2, então graças ao teorema do fator podemos afirmar que x=2 é uma raiz do polinômio P(x).

Fatoração de polinômios usando o teorema do fator

Outra aplicação do teorema do fator é a fatoração de polinômios . Caso você não saiba o que é, fatorar um polinômio significa transformar a expressão de um polinômio em produto de fatores, ou seja, fatorar um polinômio simplifica sua expressão algébrica.

Assim, o teorema fatorial estabelece que se um polinômio P(x) satisfaz P(a)=0 para um determinado valor a, então a expressão desse polinômio pode ser fatorada no produto P(x)=(xa)· Q( x), onde Q(x) é o polinômio resultante da divisão do polinômio P(x) por (xa).

Como exemplo, fatoraremos o seguinte polinômio usando o teorema fatorial:

Do polinômio anterior, podemos saber que x=-2 é uma de suas raízes, pois o valor numérico do polinômio para x=-2 é igual a zero:

Dividimos portanto com a regra de Ruffini o polinômio P(x) entre o binômio formado por x e esta raiz mudou de sinal, ou seja, o fator (x+2):

Portanto, o quociente da divisão polinomial é:

E finalmente, a partir do teorema do fator, podemos expressar o polinômio P(x) na forma de uma multiplicação do fator (x+2) pelo quociente obtido na divisão anterior:

Assim, fatoramos o polinômio P(x), mas apenas parcialmente. Para fatorar completamente um polinômio, um procedimento mais longo deve ser aplicado. Fizemos um guia onde ensinamos passo a passo como fatorar polinômios de Ruffini , além disso, neste artigo explicamos todos os tipos de fatorações e você poderá praticar com exercícios resolvidos. Então clique no link para descobrir como fatorar um polinômio do conjunto.

Problemas resolvidos do teorema do fator

A seguir, preparamos diversos exercícios resolvidos passo a passo sobre o teorema do fator para que você possa praticar, e assim verificar se entendeu este teorema. Recomendamos que você tente fazer isso sozinho e veja se entendeu a solução corretamente. Não se esqueça também que você pode nos deixar suas dúvidas abaixo nos comentários! ❓❓💬💬

Exercício 1

Use o teorema fatorial para descobrir se o polinômio P(x) é divisível pelo binômio Q(x) e, em caso afirmativo, encontre uma raiz do polinômio e fatore-a.

Neste caso, o divisor polinomial Q(x) é um binômio composto apenas por um x e um termo independente. Então, para mostrar que o polinômio P(x) pode ser dividido pelo outro polinômio Q(x) com o teorema fatorial, devemos avaliar o valor numérico do polinômio P(x) no termo independente do polinômio divisor de sinal alterado, isto é, em x = 3:

O valor numérico do polinômio P(x) em x=3 é equivalente a 14, ou seja, é diferente de zero. Portanto, de acordo com o teorema do fator, P(x) NÃO é divisível por Q(x) porque o resto da divisão não é zero.

Exercício 2

Descubra pelo teorema fatorial se o polinômio P(x) é divisível pelo binômio Q(x) e, em caso afirmativo, encontre uma raiz do polinômio P(x) e fatore-o.

Neste caso o divisor polinomial Q(x) é um binômio composto apenas por um x e um termo independente, podemos portanto aplicar o teorema fatorial.

E para verificar se o polinômio P(x) pode ser dividido pelo polinômio Q(x), devemos encontrar o valor numérico do polinômio P(x) para o termo independente do polinômio Q(x) mudou de sinal, é ou seja, em x=-1:

Neste problema, o valor numérico do polinômio em x=-1 é zero, então P(x) é divisível por Q(x).

Então, podemos deduzir pelo teorema fatorial que x=-1 é uma raiz do polinômio P(x), pois o valor numérico de P(x) em x=-1 desaparece.

Assim, como x=-1 é raiz do polinômio P(x), para fatorá-lo, basta dividi-lo por x+1. E, para isso, vamos utilizar o método Ruffini:

Então o resultado da operação é:

Podemos, portanto, fatorar o polinômio P(x) da seguinte forma:

Exercício 3

Descubra com o teorema fatorial se o polinômio P(x) é divisível pelo binômio Q(x) e, em caso afirmativo, encontre também uma raiz do polinômio P(x) e fatore-a.

Neste caso, o polinômio que divide Q(x) é um binômio formado apenas por um x e um termo independente, portanto podemos utilizar o teorema do fator.

E para verificar se o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio Q(x), devemos determinar o valor numérico do polinômio P(x) para o termo independente do polinômio Q(x) mudou de sinal, ou seja- ou seja, em x = -3:

Neste caso, o valor numérico do polinômio em x=-3 é zero, então de fato P(x) é divisível por Q(x).

Por isso, deduzimos do teorema fatorial que x=-3 é raiz do polinômio P(x), pois P(-3) é igual a zero.

Então, como x=-3 é raiz do polinômio P(x), para fatorá-lo devemos dividi-lo por x+3. E, para isso, utilizaremos a regra de Ruffini:

Então o resultado da divisão é:

E, portanto, podemos fatorar o polinômio P(x) da seguinte maneira:

O que você acha do teorema do fator? Você acha que é útil em álgebra? Nós lemos você nos comentários!
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