Soma dos cubos

Nesta página você encontrará a fórmula da soma dos cubos e a explicação de como as somas dos cubos são fatoradas. Além disso, você poderá ver diversos exemplos e exercícios resolvidos de somas de cubos.

Qual é a soma dos cubos?

A soma dos cubos é um binômio (polinômio com apenas dois monômios) cujos dois termos são positivos e, além disso, suas raízes cúbicas são exatas. Portanto, a expressão algébrica para uma soma de cubos é a ³ +b ³ .

Além disso, a soma dos cubos perfeitos corresponde a um produto notável (ou identidade notável), o que significa que existe uma fórmula para resolvê-lo diretamente, sem fazer muitos cálculos. A seguir veremos como isso é feito.

Fórmula da soma dos cubos

Depois de vermos a definição matemática da soma dos cubos, vamos agora ver qual é a fórmula da soma dos cubos:

Assim, a soma de dois termos ao cubo é igual à soma destes dois termos multiplicada pelo quadrado do primeiro termo, menos o produto das duas quantidades, mais o quadrado do segundo termo.

Portanto, quando aplicamos a fórmula da soma dos cubos perfeitos, estamos na verdade fatorando um polinômio, pois estamos convertendo a expressão de um polinômio em um produto de dois fatores. Se você ainda não tem certeza do que significa fatorar um polinômio, recomendamos que veja como fatorar polinômios antes de continuar.

Exemplos de fatoração de somas de cubos

Para finalizar a compreensão do conceito de soma de cubos perfeitos, veremos vários exemplos de fatoração de somas de cubos utilizando a fórmula:

Exemplo 1

• Fatore a seguinte soma de cubos usando a fórmula:

Na verdade, é uma soma de cubos porque a raiz cúbica do monômio

é exato (não fornece número decimal) e o número 8 também:

Portanto, podemos aplicar a fórmula da soma de cubos para transformar a expressão cúbica em um produto de um binômio e um trinômio:

E, por fim, só nos resta resolver a multiplicação e a potência:

Se observarmos atentamente a expressão obtida, graças à fórmula da soma dos cubos podemos facilmente encontrar a raiz de um polinômio . Neste caso, uma das raízes do polinômio seria

Porém, para encontrar todas as raízes (ou zeros) de um polinômio, é necessário seguir um procedimento mais complicado, descubra como na página vinculada.

Exemplo 2

• Fatore o seguinte binômio aplicando a fórmula da soma dos cubos perfeitos.

O polinômio neste exemplo também consiste em uma soma de cubos porque tanto a raiz cúbica do monômio

do termo independente 1 são exatos:

Podemos, portanto, usar a fórmula da soma dos cubos perfeitos para simplificar a expressão:

Por fim, basta calcular as operações resultantes:

Agora que você viu como resolver uma soma de cubos, talvez queira saber como fatorar uma diferença de cubos . Porque embora a fórmula da diferença de cubos seja semelhante, tem uma pequena alteração que nos permite distinguir entre uma soma e uma diferença de cubos. Deixamos este link para que você possa ver em que consiste essa mudança significativa e como é calculada uma subtração de cubos.

Problemas resolvidos de somas de cubos

Exercício 1

Fatore a seguinte adição de cubos com a fórmula:

A expressão corresponde a uma soma de cubos porque as raízes cúbicas dos dois elementos do polinômio são exatas:

Portanto, podemos usar a fórmula da soma de cubos perfeitos para fatorar a expressão cúbica em um produto de um binômio e um trinômio:

Com o qual resolvemos todas as operações para encontrar o polinômio fatorado:

Exercício 2

Expresse cada produto como uma soma de cubos:

As expressões dos 3 exercícios respeitam a fórmula da soma dos cubos, portanto é suficiente resolver as multiplicações dos polinômios:

Se você se interessa mais por identidades notáveis, saiba que existe uma que muita gente esquece (e é muito usada). Mas é importante lembrar a fórmula para esta identidade notável, chamada trinômio ao quadrado . É por isso que deixamos este link onde você poderá ver o que é e como esta fórmula é aplicada.