Sistema de coordenadas

Nesta página explicamos o que é um sistema de coordenadas e, além disso, você encontrará tudo sobre o sistema de coordenadas cartesianas. Você também verá outros tipos de sistemas de coordenadas (polares, cilíndricos, esféricos, etc.) e aplicações reais de um sistema de coordenadas.

O que é um sistema de coordenadas?

Embora seja um pouco difícil compreender este conceito no início, a definição de um sistema de coordenadas é:

Um sistema de coordenadas é um sistema que nos permite identificar a posição de um ponto. Ou seja, é um conjunto de valores utilizados para definir a localização de qualquer objeto geométrico.

Por exemplo, a posição em que o seguinte avião está voando pode ser descrita por um sistema de coordenadas:

Neste caso, o plano está no ponto (5.3). Porque sua coordenada X é 5 e sua coordenada Y é 3.

$(5,3)$

Por outro lado, o ponto (0,0) é denominado origem das coordenadas , porque é onde começam os eixos coordenados e é o ponto de referência do sistema de coordenadas.

Por curiosidade, considera-se que o matemático que inventou o sistema de coordenadas foi o francês René Descartes. E é por isso que também é chamado de sistema de coordenadas cartesianas.

Sistema de coordenadas cartesianas no plano

O gráfico que vimos na seção anterior pertence ao sistema de coordenadas cartesianas no plano. Dizemos que está no plano porque é um sistema bidimensional, ou seja, possui apenas dois eixos: o eixo X e o eixo Y.

O eixo X corresponde às coordenadas horizontais, enquanto o eixo Y representa as coordenadas verticais. Abaixo você pode ver vários pontos representados graficamente com suas coordenadas:

Como você pode ver no gráfico, as coordenadas são representadas numericamente entre parênteses, além disso, primeiro é colocado o componente X e depois o componente Y: (4,3). Além disso, as coordenadas podem ser positivas, negativas ou zero.

Por outro lado, este tipo de sistema de coordenadas também é denominado plano cartesiano.

Finalmente, você deve saber que os eixos coordenados podem ser ditos de várias maneiras, embora todos signifiquem a mesma coisa:

O eixo X também é chamado de eixo de abcissas ou eixo OX.
O eixo Y também é chamado de eixo y ou eixo OY.

Sistema de coordenadas cartesianas no espaço

Acabamos de ver como representar um ponto no plano, ou seja, num sistema de coordenadas com dois eixos (2 dimensões). Porém, a realidade é composta por 3 dimensões (altura, largura e profundidade).

Assim, na geometria euclidiana, o espaço tridimensional é geralmente representado por um sistema de coordenadas com três eixos, todos perpendiculares entre si:

O eixo X representa a profundidade.
O eixo Y indica a largura.
O eixo Z corresponde à altura.

Sistema de coordenadas cartesianas no espaço 3D

Como você pode ver na representação gráfica anterior, as coordenadas de qualquer ponto são dadas pelas projeções nos eixos das distâncias entre o ponto em questão e a origem (0,0,0).

sistema de coordenadas polares

Os sistemas de coordenadas cartesianas, 2D ou 3D, são os mais utilizados. Mas em algumas ocasiões pode ser conveniente usar outro tipo de sistema de coordenadas.

O sistema de coordenadas polares é um sistema de referência bidimensional cujas coordenadas são:

$\bm{r}$

é a distância entre a origem da coordenada e o ponto. Isso é chamado de coordenada radial.
$\bm{\theta}$

é o ângulo que o eixo X faz com a reta que passa pelo ponto e pela origem. Isso é chamado de coordenada angular ou azimutal.

Você pode facilmente mudar do sistema de coordenadas retangulares para o sistema de coordenadas polares usando as seguintes equações:

Converter coordenadas polares em coordenadas cartesianas

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)$

$y=r\cdot\text{sen}(\theta)$

Mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas polares

$r= \sqrt{x^2+y^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

Sistema de coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é muito semelhante ao sistema de coordenadas polares. Na verdade, é a mesma coisa, mas com mais uma coordenada: altura.

A moldura cilíndrica é portanto uma moldura tridimensional, ou seja, com 3 coordenadas:

$\bm{r}$

é a projeção ortogonal do ponto no plano XY, ou seja, a distância do ponto ao eixo Z.
$\bm{\theta}$

é o ângulo que o semieixo positivo

$r.$
$\bm{z}$

é a altura do ponto, é a mesma coordenada do sistema de coordenadas cartesianas no espaço.

As seguintes fórmulas são usadas para transformar o sistema de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas:

Converter coordenadas cilíndricas em coordenadas cartesianas

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)$

$y=r\cdot\text{sen}(\theta)$

$z = z$

Converter coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas

$r= \sqrt{x^2+y^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

$z = z$

Sistema de coordenadas esféricas

Finalmente, temos o sistema de coordenadas esféricas. Este tipo de sistema de coordenadas também é bastante semelhante às coordenadas polares e às coordenadas cilíndricas, embora obviamente tenha algumas diferenças em relação a elas.

O sistema de coordenadas esféricas é um sistema de descrição de espaços euclidianos tridimensionais, portanto, possui três coordenadas:

$\bm{r}$

é a distância (em R3) da origem ao ponto.
$\bm{\theta}$

é o ângulo que a parte positiva do eixo X faz com a reta

$r$

projetada no plano XY.
$\bm{\phi}$

é o ângulo entre a parte positiva do eixo Z e a linha

$r.$

Você pode alternar entre coordenadas esféricas e cartesianas usando as seguintes fórmulas:

Convertendo coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)\cdot\text{sen}(\phi)$

$y=r\cdot \text{sen}(\theta)\cdot\text{sen}(\phi)$

$z = r\cdot\text{cos}(\phi)$

Convertendo coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas

$r= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

$\displaystyle \phi = \text{arctan}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$

Aplicações do mundo real do sistema de coordenadas

Os sistemas de coordenadas são muito importantes na matemática porque também são usados na vida real. Por exemplo, são úteis para localizar objetos, pessoas ou mesmo locais num mapa. Na verdade, o GPS existe por causa dos sistemas de coordenadas, pois é isso que eles usam para saber a sua posição na Terra.

Mais precisamente, as coordenadas geográficas GPS são compostas por dois elementos: latitude e longitude. Latitude (norte ou sul) e longitude (leste ou oeste) são duas coordenadas angulares que medem o ângulo entre o centro da Terra e a sua localização. Ambos são expressos em graus, seja em coordenadas decimais ou sexagesimais.

O que é um sistema de coordenadas?

Sistema de coordenadas cartesianas no plano

Sistema de coordenadas cartesianas no espaço

sistema de coordenadas polares

Sistema de coordenadas cilíndricas

Sistema de coordenadas esféricas

Aplicações do mundo real do sistema de coordenadas

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