Etimologicamente, quatérnios ou quatérnios vem do latim quaterni . Em espanhol, a palavra se traduz como “por quatro”. Porém, sua interpretação significa “número de quatro elementos”.
Quaternions são elementos de um campo não permutante inicialmente criado por William Rowan Hamilton. Quaternions são definidos como a extensão dos números reais que constituem um número hipercomplexo. Na verdade, eles são bastante semelhantes aos números complexos .
Ou seja, os quatérnios ocorrem devido à amplificação causada analogicamente. Por outro lado, os números complexos são produzidos como uma extensão dos números reais pela soma da unidade imaginária i , então i ao quadrado é igual a -1. No primeiro caso, as unidades imaginárias k , i e j são somadas aos números reais.
Portanto, com relação aos quatérnios, temos que: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Esta representação corresponde às dispostas na tabela de Cayley . Neste ponto, vale ressaltar que i , j , k e 1 são os quatro pilares fundamentais dos quatérnios.
| × | 1 | Ei | j | O que |
| 1 | 1 | Ei | j | O que |
| Ei | Ei | -1 | O que | -j |
| j | j | -k | -1 | Ei |
| O que | O que | j | -Ei | -1 |
William Hamilton inventou os quatérnios em 1843 como um método que lhe permitiu multiplicar e dividir vetores, girá-los e esticá-los.
Como são feitos os quaterniões?
Os quaternions formam uma bela álgebra na qual cada um de seus objetos contém 4 variáveis . Na verdade, às vezes são chamados de parâmetros de Euler, que não devem ser confundidos com ângulos de Euler. Esses objetos podem ser somados e multiplicados como uma única unidade de maneira semelhante à álgebra dos números regulares.
No entanto, há uma diferença. Em termos matemáticos, a multiplicação de quatérnios não é comutativa.
Os quatérnios têm 4 dimensões. Cada quatérnio é composto por 4 números escalares , uma dimensão real e 3 dimensões imaginárias. Cada uma dessas dimensões imaginárias tem um valor unitário da raiz quadrada de -1. No entanto, estas são raízes quadradas diferentes de -1, todas perpendiculares entre si, chamadas i , j e k . Assim, um quatérnio pode ser representado da seguinte forma:
x = (a, b, c, d) que está escrito x = a + bi + cj + dk
Assim, a, b, c e d representam números reais definidos inequivocamente por cada quatérnio. Por outro lado, os números 1, i , j e k são básicos. Se quisermos representar quatérnios usando um conjunto, podemos fazer o seguinte: Supondo que IR 4 representa o conjunto, a expressão é: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Este conjunto é consistente com o espaço quadridimensional real. Assim como um conjunto de números reais corresponde ao espaço existente em uma dimensão e o conjunto de números complexos corresponde ao espaço em duas dimensões.
Qual é a estrutura algébrica dos quatérnios?
Um quaternion ilustra um corpo irregular . Isso significa que é uma estrutura algébrica semelhante a um corpo. No entanto, não é comutativo na multiplicação. Em outras palavras, cumpre todas as qualidades de um corpo, mas seu resultado não é comutativo.
A multiplicação de quatérnios é associativa. Além disso, cada quatérnio diferente de zero possui um inverso único . Os quatérnios não constituem uma álgebra associativa em comparação com os números complexos.
Finalmente, da mesma forma que os números complexos e os números reais representam as dimensões vetoriais euclidianas de espaços unitários ou duplos, portanto, os quatérnios criam uma área vetorial euclidiana quadridimensional.
Como os quatérnios são representados em matrizes?
As representações matriciais também são características dos quatérnios. Neste caso, matrizes matemáticas são aplicadas para sua expressão. Por exemplo, se tivermos o quatérnio p = a + bi + cj + dk é possível representá-lo em uma matriz complexa 2 x 2 da seguinte forma:
Outra maneira de usar representações matriciais em quatérnios é usar matrizes reais 4 x 4 . Além disso, usando matrizes para representar quatérnios, é possível expressá-los como o produto interno de dois vetores. Assim, um componente seria: = (a1, a2, a3, a4) e o outro {1, i, j, k }.
Neste caso, o elemento a 1 que gera a componente real é escrito separadamente. Além disso, para o produto escalar apenas as três bases i, j, k são levadas em consideração:
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Quais operações básicas podem ser feitas com quatérnios?
Para somar e obter um produto entre um quatérnio e outro, aplica-se a aritmética de números complexos. Isto funciona da mesma forma que no caso do conjunto IR 4 anterior . Isso quer dizer que esse conjunto mais o resto das operações compensa todas as qualidades de um corpo. A única relevância neste caso é que o produto não comuta.
Em caso de acréscimo, é realizado termo a termo. Em qualquer caso, funciona da mesma forma que os números complexos. Isso é para dizer:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Para o produto, é aplicado componente a componente . De acordo com isso, fica assim:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Como já salientamos anteriormente, o produto dos quaterniões nunca é comutativo. Pelo contrário, é sempre associativo . As operações elaboradas anteriormente podem ser realizadas substituindo as representações.
Quais são as aplicações dos quatérnios?
Um quatérnio vai muito além de uma investigação matemática. Atualmente eles têm diversas aplicações. Primeiro, eles são usados para verificar respostas na teoria dos números . Um exemplo disso é o teorema de Lagrange, que afirma que qualquer número natural é expresso como a soma de 4 quadrados perfeitos.
Por outro lado, tem aplicações no campo da física. Os quatérnios são muito úteis para mecânica quântica, eletromagnetismo e muito mais.