▷ Quais são as propriedades (ou leis) dos limites?

Aqui você encontrará todas as propriedades (ou leis) dos limites de função. Estas propriedades servem para simplificar os cálculos de limites, especialmente quando se trata de limites com operações de funções.

Quais são as propriedades (ou leis) dos limites de função?

A seguir explicaremos todas as propriedades dos limites das funções, ou também chamadas de leis dos limites das funções. Além disso, você poderá ver exercícios resolvidos para cada propriedade dos limites para que possa compreender totalmente o conceito.

Propriedade do limite de uma soma

O limite da soma de duas funções num ponto é igual à soma dos limites de cada função nesse mesmo ponto separadamente.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Por exemplo, suponha que existam duas funções:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

O limite de cada função em x igual a 1 é:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Portanto, o limite das duas funções somadas no mesmo ponto dá 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

A propriedade pode ser comprovada calculando o limite passo a passo:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Propriedade do limite de uma subtração

O limite da subtração (ou diferença) de duas funções num ponto é equivalente à subtração do limite de cada função nesse mesmo ponto separadamente.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Usando as funções do exemplo anterior:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

O limite de cada função no ponto x=3 é:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

Então, o limite das duas funções subtraídas em x=3 é a diferença dos valores obtidos na etapa anterior:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Podemos provar esta propriedade dos limites calculando a subtração de funções e depois resolvendo o limite:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Limitar a propriedade de um produto

O limite do produto de duas funções num ponto é o produto do limite de cada função nesse ponto.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Por exemplo, se tivermos as duas funções diferentes a seguir:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

O limite de cada função em x = 2 é:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Assim, para determinar o limite do produto das duas funções, não é necessário multiplicá-las, mas basta multiplicar o resultado obtido de cada limite:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Isso nos poupa tempo e cálculos porque multiplicar duas funções pode ser difícil.

Propriedade do limite de um quociente

O limite do quociente (ou divisão) de duas funções é igual ao quociente dos limites das funções.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Esta condição é satisfeita desde que o limite da função denominadora não seja zero.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Resolveremos um exemplo desta propriedade (ou lei) dos limites. Considere as funções f(x) e g(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

Primeiro calculamos o limite de cada função em x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Assim, o limite da divisão das duas funções em x=0 pode ser facilmente encontrado:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

Neste caso, podemos aplicar esta propriedade para resolver o limite porque o limite de g(x) é diferente de zero.

Propriedade do limite de uma constante

O limite de uma função constante resulta sempre na própria constante, independentemente do ponto em que o limite é calculado.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Esta propriedade é muito simples de verificar, por exemplo se tivermos a seguinte função constante:

$f(x)=5$

Logicamente, o limite da função constante em qualquer ponto é 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Propriedade do limite de um múltiplo constante

Das propriedades do limite de um produto e do limite de uma constante, podemos deduzir a seguinte propriedade:

O limite de uma função multiplicado por uma constante é igual ao produto dessa constante e o limite da função.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Observe como simplificamos o cálculo do seguinte limite usando esta propriedade:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Propriedade do limite de uma potência

O limite de qualquer função elevado a um expoente equivale a calcular o limite da função e depois elevar o resultado do limite a esse expoente.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Por exemplo, o limite de uma função linear é:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

Bem, o limite da função quadrática pode ser calculado encontrando o limite da função linear e depois elevando ao quadrado o resultado:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Propriedade do limite de uma função exponencial

O limite de uma função exponencial é igual à constante da função elevada ao limite da expressão algébrica da função.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Calcularemos então o limite de uma função exponencial de duas formas possíveis para verificar esta propriedade:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Propriedade do limite de uma potência de funções

O limite de uma função elevada a outra função é o limite da primeira função elevado ao limite da segunda função.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Como exemplo, determinaremos o seguinte limite aplicando esta lei:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

Propriedade do limite de uma função irracional

O limite de uma raiz (ou radical) é igual à raiz do limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Para utilizar esta propriedade, deve-se ter em mente que se o índice raiz for par, o limite da função deve ser maior ou igual a 0:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Observe como o seguinte limite foi calculado aplicando esta fórmula:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Propriedade do limite de uma função logarítmica

O limite de um logaritmo é equivalente ao mesmo logaritmo base do limite.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Veja a resolução do seguinte limite em que aplicamos esta propriedade:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Propriedades (ou leis) de limites