Matriz idempotente - Matoridade

Nesta página explicamos o que são matrizes idempotentes. Também mostramos vários exemplos deste tipo de matrizes para que você entenda completamente. Além disso, você encontrará a fórmula para encontrar uma matriz idempotente e, por fim, todas as propriedades das matrizes idempotentes.

O que é uma matriz idempotente?

A definição de uma matriz idempotente é a seguinte:

Uma matriz idempotente é aquela matriz que, quando multiplicada por si mesma, dá como resultado a mesma matriz.

$A\cdot A = A$

Portanto, qualquer potência de uma matriz idempotente é igual à própria matriz, independente do expoente:

Na verdade, é por isso que esse tipo de placa recebeu esse nome. Porque em matemática a idempotência é uma operação que significa que obtemos sempre o mesmo resultado independentemente do número de vezes que é realizado.

Exemplos de matrizes idempotentes

Uma vez conhecido o conceito de matriz idempotente, veremos alguns exemplos de diferentes dimensões para finalizar seu entendimento.

Exemplo de matriz idempotente 2×2

A seguinte matriz quadrada de dimensão 2×2 é idempotente:

exemplo de uma matriz idempotente de dimensão 2x2

Para verificar que se trata de uma matriz idempotente, calculamos seu quadrado:

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix}$

O resultado é idêntico, portanto mostramos que se trata de uma matriz idempotente.

Exemplo de matriz idempotente 3×3

A seguinte matriz quadrada de tamanho 3×3 é idempotente:

exemplo de uma matriz idempotente de dimensão 3x3

Para verificar se uma matriz idempotente corresponde, elevamos a matriz para 2:

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix} 2 &-3 & -5 \\[1.1ex] -1 & 4 & 5 \\[1.1ex] 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

O resultado é igual ao da matriz original, portanto a idempotência da matriz está comprovada.

Estrutura de uma matriz idempotente 2×2

Aqui mostramos a fórmula para obter uma matriz idempotente. Caso você esteja mais interessado, você pode ver a demonstração da fórmula abaixo nos comentários, mas é um pouco tediosa então deixamos aqui diretamente com a fórmula para matrizes idempotentes :

De tal forma que os elementos da diagonal secundária de uma matriz idempotente podem ser arbitrários desde que a condição seja satisfeita

$a^2+bc=a$

e os números na diagonal principal devem ser

$a$

$1-a.$

Além de todas as matrizes descritas por esta fórmula, devemos adicionar a matriz Identidade, que também é uma matriz idempotente embora não respeite a fórmula. Se você não sabe o que é o array, pode perguntar o que é o array Identity .

Propriedades de matrizes idempotentes

Matrizes idempotentes possuem as seguintes características:

O determinante de uma matriz idempotente é sempre 0 ou 1.

Exceto a matriz identidade, todas as outras matrizes idempotentes são matrizes singulares ou degeneradas, ou seja, não são invertíveis.

Qualquer matriz idempotente é diagonalizável e seus autovalores (ou autovalores) são sempre 0 ou 1.

O traço de uma matriz idempotente é igual ao posto da matriz.

Finalmente, existe uma relação entre matrizes idempotentes e matrizes involucionais: a matriz
$A$

é idempotente se e somente se a matriz

$\displaystyle P= 2A-I$

é involucional.