Problemas de otimização -

Aqui explicamos como os problemas de otimização de funções são resolvidos em etapas. Além disso, você poderá praticar com exercícios resolvidos sobre problemas de otimização.

O que são problemas de otimização?

Problemas de otimização são problemas nos quais é necessário encontrar o máximo ou o mínimo de uma função. Por exemplo, um problema de otimização envolveria o cálculo do máximo de uma função que define os lucros de uma empresa.

Como resolver problemas de otimização

Etapas para resolver problemas de otimização de função:

Defina a função que precisa ser otimizada.
Derive a função a ser otimizada.
Encontre os pontos críticos da função a ser otimizada. Para fazer isso, você precisa igualar a derivada da função a zero e resolver a equação resultante.
Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Exemplo de um problema de otimização

Considerando a teoria dos problemas de otimização, resolveremos passo a passo um problema deste tipo para que você possa ver como eles são realizados.

Entre todos os triângulos retângulos cujos catetos totalizam 10 cm, calcule as dimensões daquele com maior área de superfície.

Para resolver o problema, chamaremos um ramo do triângulo de x e o outro ramo de y :

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

Queremos que a área do triângulo seja máxima, e a fórmula para a área de um triângulo é:

$A = \cfrac{b \cdot h}{2}$

No nosso caso, a base do triângulo é x e sua altura é y . Ainda:

$A = \cfrac{x \cdot y}{2}$

Já temos a função de otimização, mas ela depende de duas variáveis e só pode depender de uma. Porém, o enunciado nos diz que as duas pernas devem totalizar 10 cm. Ainda:

$x+ y = 10$

Resolvemos para y a partir desta equação:

$y = 10 -x$

E substituímos a expressão na função:

$A = \cfrac{x \cdot y}{2} \ \xrightarrow{ y \ = \ 10 -x } \ A = \cfrac{x(10-x)}{2}$

$A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2}$

Agora temos a função de otimização planejada e ela depende apenas de uma variável, então podemos passar para a próxima etapa.

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

É uma função racional, então aplicamos a fórmula da derivada da divisão para derivá-la:

$A(x) = \cfrac{10x-x^2}{2} \ \longrightarrow \ A'(x) = \cfrac{(10-2x) \cdot 2 - (10x-x^2) \cdot 0}{2^2}$

$A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos.

Para encontrar os pontos críticos da função, precisamos igualar a derivada a zero e resolver a equação resultante:

$A'(x) = 0$

$\cfrac{20-4x}{4} =0$

O 4 divide todo o lado esquerdo, então podemos multiplicar multiplicando todo o lado direito:

$20-4x=0 \cdot 4$

$20-4x=0$

$-4x=-20$

$x=\cfrac{-20}{-4}$

$x=5$

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Para estudar a monotonia da função, representamos o ponto crítico encontrado à direita:

E agora avaliamos o sinal da derivada em cada intervalo para descobrir se a função é crescente ou decrescente. Para fazer isso, pegamos um ponto em cada intervalo (nunca o ponto crítico) e observamos qual sinal a derivada tem naquele ponto:

$A'(x) = \cfrac{20-4x}{4}$

$A'(0) = \cfrac{20-4\cdot0}{4} = \cfrac{20}{4} = 5 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$A'(6) = \cfrac{20-4\cdot6}{4} = \cfrac{20-24}{4} = \cfrac{-4}{4} = -1 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Se a derivada for positiva, significa que a função está aumentando, e se a derivada for negativa, significa que a função está diminuindo. Portanto, os intervalos para aumentar e diminuir a função são:

Crescimento:

$\bm{(-\infty, 5)}$

Diminuir:

$\bm{(5,+\infty)}$

Em x=5 a função vai de crescente para decrescente, então x=5 é um máximo relativo da função a ser otimizada .

Portanto, x=5 é o valor do ramo do triângulo que possui a área máxima. Basta calcular o valor da outra perna:

$y = 10 -x \ \xrightarrow{x \ = \ 5} \ y = 10-5= \bm{5}$

Concluindo, os valores que maximizam a área máxima do triângulo são:

$\bm{x=5} \ \mathbf{cm}$

$\bm{y=5} \ \mathbf{cm}$

Problemas de otimização resolvidos

Problema 1

O medicamento é dado a uma pessoa doente e

$t$

algumas horas depois, a concentração sanguínea do princípio ativo é dada pela função

$c(t) = te^{−t/2}$

miligramas por mililitro. Determine o valor máximo de

$c(t)$

e indica quando esse valor é alcançado.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

Neste problema, eles já nos dão a função proposta, que é

$\displaystyle c(t) = t e^{-t/2} .$

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

A função é composta pelo produto de 2 funções. Portanto, para calcular a derivada da função, devemos aplicar a regra para a derivada de um produto:

$\displaystyle c'(t)=1 \cdot e^{-t/2} + t \cdot e^{-t/2} \cdot \left( \frac{-t}{2} \right)'= e^{-t/2} + t e^{-t/2} \cdot \frac{-1}{2}$

$c'(t)=e^{-t/2} + \cfrac{-1}{2}t e^{-t/2}$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos.

Para encontrar os pontos críticos da função, resolvemos

$c'(t)=0:$

$c'(t)=0$

$\displaystyle e^{-t/2} + \frac{-1}{2}t e^{-t/2}=0$

Tomamos o fator comum para resolver a equação:

$\displaystyle e^{-t/2} \left(1 - \frac{1}{2}t \right) = 0$

Para que a multiplicação seja igual a 0, um dos dois elementos da multiplicação deve ser zero. Portanto, definimos cada fator igual a 0:

$\displaystyle e^{-t/2}\cdot \left(1 - \frac{1}{2}t \right) = 0 \longrightarrow \begin{cases} e^{-t/2}=0 \ \bm{\times} \\[2ex]\displaystyle 1 - \frac{1}{2}t=0 \ \longrightarrow \ 1= \frac{1}{2}t \ \longrightarrow \ \bm{2=t} \end{cases}$

Um número elevado a outro número nunca pode dar 0, portanto,

$e^{-t/2}=0$

Não há solução.

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Para estudar a monotonia da função, representamos o ponto crítico encontrado à direita:

E agora avaliamos o sinal da derivada em cada intervalo, para descobrir se a função é crescente ou decrescente. Portanto, pegamos um ponto em cada intervalo (nunca o ponto crítico) e observamos qual sinal a derivada tem neste ponto:

$\displaystyle c'(0)=e^{-0/2} + \frac{-1}{2}\cdot 0 \cdot e^{-0/2} = e^0 +\frac{-1}{2}\cdot 0 \cdot e^{0} = 1 + 0 = 1 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$\displaystyle c'(3)=e^{-3/2} + \frac{-1}{2}(3)e^{-3/2} = 0,22-0,33 = -0,11 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Se a derivada for positiva significa que a função aumenta, por outro lado se a derivada for negativa significa que a função diminui. Assim os intervalos de crescimento e diminuição da função a ser otimizada são:

Crescimento:

$\bm{(-\infty,2)}$

Diminuir:

$\bm{(2,+\infty)}$

A função vai de crescente a decrescente em t=2, então t=2 é o máximo da função. A concentração máxima será, portanto, alcançada em t=2 horas.

Finalmente, substituímos o valor em que ocorre o máximo na função original, para encontrar o valor da concentração máxima:

$c(2) = 2 \cdot e^{-2/2} = 2\cdot e^{-1} = 2 \cdot 0,37 = \bm{0,74} \ \mathbf{mg/ml}$

Problema 2

Uma loja espera vender 40 scooters elétricas ao preço de 1.000 euros por scooter. Mas, de acordo com estudos de mercado, por cada redução de 50€ no preço das scooters, haverá um aumento nas vendas das 10 scooters mais vendidas.

Primeiro, escreva a função de receita da loja com base no número de vezes que o preço original de US$ 1.000 da scooter é reduzido em US$ 50. Em seguida, determine o preço da scooter para obter o lucro máximo e a receita obtida com esse preço.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

A definição do problema nos dá uma pista, pois nos diz que a função deve depender do número de vezes que o preço inicial é reduzido em US$ 50. Chamaremos, portanto, de x o número de vezes que o preço é reduzido em 50€:

$x= \text{N\'umero de veces que se rebaja el precio 50}$

€

A função receita será o número de scooters vendidas multiplicado pelo preço de cada scooter:

$I(x)= \text{N\'umero patintetes vendidos} \cdot \text{Precio de cada patinete}$

O número de scooters vendidas será de 40 mais 10 scooters por cada redução de preço de 50€. Ainda:

$\text{N\'umero patintetes vendidos} = 40 + 10x$

O preço de cada scooter será de 1000€ no início e diminuirá 50€ a cada descida de preço. Ainda:

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x$

A função para otimizar o problema é, portanto:

$I(x)= \text{N\'umero patintetes vendidos} \cdot \text{Precio de cada patinete}$

$I(x)= (40 + 10x) \cdot (1000-50x)$

$I(x)= 40000-2000x+10000x-500x^2$

$I(x)= -500x^2+8000x+40000$

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

Por ser uma função polinomial, a derivada é mais fácil de calcular:

$I(x)= -500x^2+8000x+40000\ \longrightarrow \ I'(x)= -1000x+8000$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos da função.

Para encontrar os pontos críticos da função, resolvemos

$I'(x)=0:$

$I'(x)=0$

$-1000x+8000=0$

$-1000x=-8000$

$x=\cfrac{-8000}{-1000} = 8$

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Para estudar a monotonicidade da função, representamos o ponto crítico calculado na reta numérica:

$I'(0)= -1000\cdot 0+8000=8000 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$I'(10)= -1000\cdot 10+8000=-2000 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Se a derivada for positiva, significa que a função está aumentando, e se a derivada for negativa, significa que a função está diminuindo. Portanto, os intervalos de crescimento e declínio são:

Crescimento:

$\bm{(-\infty,8)}$

Diminuir:

$\bm{(8,+\infty)}$

A função vai de crescente a decrescente em x=8, então x=8 é o máximo da função. Portanto, o rendimento máximo será obtido fazendo 8 vezes a redução de 50€.

Substituímos agora o valor em que o rendimento máximo aparece na função original, para encontrar o valor do rendimento máximo:

$I(x)= -500x^2+8000x+40000$

$I(8)= -500\cdot 8^2+8000\cdot 8+40000 = \bm{72000}$

€

E o preço de cada scooter depois de ter feito o desconto de 50€ 8 vezes será:

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50x$

$\text{Precio de cada patinete} = 1000 -50\cdot 8=\bm{600}$

€

Problema 3

A função custo (em milhares de euros) de uma empresa pode ser determinada através da seguinte expressão:

$f(x)=40-6x+x^2, \quad x \ge 0$

Ouro

$x$

representa os milhares de unidades produzidas de um determinado item.

Determine quanto deve ser produzido para que o custo seja mínimo, qual é esse custo e qual seria o custo se nenhum desses itens fosse produzido.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

A declaração do problema já nos fornece a função a ser otimizada, que é

$\displaystyle f(x)=40-6x+x^2 .$

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

$f(x)=40-6x+x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)=-6+2x$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos.

Para encontrar os pontos críticos da função, resolvemos

$f'(x)=0:$

$f'(x)=0$

$-6+2x=0$

$2x=6$

$x=\cfrac{6}{2} = 3$

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Representamos o ponto crítico encontrado à direita:

$f'(0)=-6+2\cdot 0=-6\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(4)=-6+2\cdot 4=-6+8=2\ \rightarrow \ \bm{+}$

Se a derivada for maior que zero, a função aumenta nesse intervalo. Por outro lado, se a derivada for menor que zero, a função diminui neste intervalo. Assim, os intervalos de aumento e diminuição da função são:

Crescimento:

$\bm{(3,+\infty)}$

Diminuir:

$\bm{(-\infty,3)}$

A função vai de decrescente para crescente em x=3, então x=3 é o mínimo da função. Portanto, o custo mínimo será alcançado com a produção de 3.000 unidades.

Agora substituímos o valor pelo qual o custo mínimo é alcançado na função original para encontrar o valor do custo mínimo:

$f(3)=40-6\cdot 3+3^2=\bm{31}$

milhões de euros.

Por outro lado, perguntam-nos qual seria o custo se nada fosse produzido, ou seja, quando

$x= 0 .$

É necessário, portanto, calcular

$f(0):$

$f(0)=40-6\cdot 0+0^2= \bm{40}$

milhões de euros.

Problema 4

Queremos construir uma moldura retangular de madeira que delimite uma área de 2 m ² . Sabemos que o preço da madeira é de 7,5€/m para as laterais horizontais e de 12,5€/m para as laterais verticais. Determine as dimensões que o retângulo deve ter para que o custo total da moldura seja o mínimo possível e esse custo seja mínimo.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

Para resolver o problema, chamaremos o lado horizontal de x e o lado vertical de y :

problemas de otimização de função retângulo

Comprar um lado horizontal custa 7,5€ e comprar um lado vertical custa 12,5€. Além disso, para cada quadro precisamos de dois lados horizontais e dois lados verticais. Portanto, o custo do quadro pode ser determinado com a seguinte função:

$C(x,y)= 7,5\cdot 2x+12,5 \cdot 2y = 15x +25y$

Já temos a função de otimizar. Mas depende de duas variáveis quando só pode depender de uma. Porém, o comunicado diz-nos que a superfície da moldura deve ser de 2 m ² . Ainda:

$x \cdot y = 2$

Excluímos a variável y :

$y =\cfrac{2}{x}$

E substituímos a expressão encontrada na função a ser otimizada:

$C(x,y)= 15x +25y\ \xrightarrow{y \ = \ \frac{2}{x} } \ C(x)= 15x+25\left(\cfrac{2}{x} \right)$

$C(x)= 15x+\cfrac{50}{x} =15x +50x^{-1}$

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

$C(x)=15x +50x^{-1} \ \longrightarrow \ C'(x)=15 -50x^{-2}$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos.

Para encontrar os pontos críticos da função, resolvemos

$C'(x)=0:$

$C'(x)=0$

$15 -50x^{-2}=0$

$15 =50x^{-2}$

$15=\cfrac{50}{x^2}$

$\cfrac{15}{1}=\cfrac{50}{x^2}$

Multiplicamos transversalmente para resolver a equação com frações:

$15 \cdot x^2 = 50 \cdot 1$

$x^2 = \cfrac{50}{15}$

$x^2 = 3,33$

$\sqrt{x^2} = \sqrt{3,33}$

$x = 1,83$

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Representamos o ponto crítico encontrado para analisar a monotonia da função na reta:

$f'(1)=15 -50\cdot 1^{-2} = 15-50 = -35 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(2)=15 -50\cdot 2^{-2} = 15-12,5 = 2,5 \ \rightarrow \ \bm{+}$

Crescimento:

$\bm{(1,83,+\infty)}$

Diminuir:

$\bm{(-\infty,1,83)}$

A função muda de decrescente para crescente em x=1,83, então x=1,83 é o mínimo da função.

Portanto, x=1,83 é o valor do lado horizontal que representa o custo mínimo. Agora vamos calcular o valor do lado vertical:

$y =\cfrac{2}{x} \ \longrightarrow \ y =\cfrac{2}{1,83} = \bm{1,09}$

Assim, os valores que compõem o custo mínimo do enquadramento são:

lado horizontal

$= x = \bm{1,83} \ \mathbf{m}$

lado vertical

$= y = \bm{1,09} \ \mathbf{m}$

E o custo mínimo alcançado com estes valores é:

$C= 15\cdot 1,83+25\cdot 1,09=\bm{54,70}$

€

Problema 5

A porta de uma catedral é formada por um arco semicircunferencial sustentado por duas colunas, conforme mostra a figura a seguir:

Se o perímetro da porta for 20 m, determine as medidas

$x$

$y$

o que maximiza a área de superfície de toda a porta.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

A área de um círculo é calculada pela fórmula

$\pi r^2.$

Portanto, a área de toda a porta será a área do retângulo mais metade da área da circunferência:

$A(x,y)= x\cdot y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi r ^2 \right]$

$A(x,y)= x y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi \left(\cfrac{x}{2}\right)^2 \right]$

$A(x,y)= x y + \cfrac{1}{2} \left[ \pi \cdot \cfrac{x^2}{4} \right]$

$A(x,y)= x y +\cfrac{1}{2} \left[ \cfrac{\pi \cdot x^2}{4} \right]$

$A(x,y)= xy +\cfrac{\pi x^2}{8}$

Já temos a função de otimizar. Mas depende de duas variáveis quando só pode depender de uma.

Porém, o comunicado informa que o perímetro de todo o portão é de 20m. O perímetro de um círculo é calculado pela fórmula

$2 \pi r.$

Portanto, o perímetro de toda a porta será:

$P= x +2y +\cfrac{1}{2} \left[ 2 \pi \left( \cfrac{x}{2}\right) \right] = x+2y + \cfrac{2 \pi x }{2 \cdot 2} = x+2y + \cfrac{ \pi x }{2 }$

O perímetro deve ser de 20 m. Portanto, definimos a expressão anterior igual a 20 para encontrar a relação entre

$x$

$y :$

$x+2y + \cfrac{ \pi x }{2 } = 20$

Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar frações:

$2\cdot x+2\cdot 2y + 2 \cdot \cfrac{ \pi x }{2 } = 2 \cdot 20$

$2x+4y + \pi x = 40$

Nós limpamos

$y :$

$4y = 40-2x- \pi x$

$y = \cfrac{40-2x- \pi x}{4}$

E substituímos a expressão encontrada na função a ser otimizada:

$A(x,y)= x y +\cfrac{\pi x^2}{8}\ \xrightarrow{y \ = \ \frac{40-2x- \pi x}{4} }$

$A(x)= x \cdot \cfrac{40-2x- \pi x}{4}+\cfrac{\pi x^2}{8}$

$A(x)= \cfrac{40x-2x^2-\pi x^2}{4}+\cfrac{\pi x^2}{8}$

Passo 2: Calcule a derivada da função a ser otimizada.

$A'(x)=\cfrac{(40-4x-2\pi x)\cdot 4 +(40x-2x^2- \pi x^2)\cdot 0 }{4^2} +\cfrac{2\pi x \cdot 8 + \pi x^2 \cdot 0}{8^2}$

$A'(x)=\cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +\cfrac{16\pi x}{64}$

Etapa 3: Encontre os pontos críticos.

Para encontrar os pontos críticos da função, resolvemos

$A'(x)=0:$

$A'(x)=0$

$\cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +\cfrac{16\pi x}{64} = 0$

Esta é uma equação com frações, então multiplicamos cada termo pelo lcm dos denominadores para eliminar as frações:

$64 \cdot \cfrac{160-16x-8\pi x }{16} +64 \cdot \cfrac{16\pi x}{64} = 0$

$4\cdot ( 160-16x-8\pi x) +1\cdot 16\pi x= 0$

$640-64x -32 \pi x +16\pi x= 0$

$-64x -32 \pi x +16\pi x= -640$

$-64x -16 \pi x = -640$

$(-64 -16 \pi) x = -640$

$x=\cfrac{-640}{-64 -16 \pi} = 5,6$

Passo 4: Estude a monotonicidade da função e determine o máximo ou mínimo da função.

Para estudar a monotonia da função, representamos o ponto crítico encontrado à direita:

$A'(0)=\cfrac{160-16\cdot 0-8\pi \cdot 0 }{16} +\cfrac{16\pi \cdot 0}{64} = 10 +0 = 10 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$A'(6)=\cfrac{160-16\cdot 6-8\pi \cdot 6 }{16} +\cfrac{16\pi \cdot 6}{64} = -5,42 +4,71 = -0,71 \ \rightarrow \ \bm{-}$

Crescimento:

$\bm{(-\infty , 5,6)}$

Diminuir:

$\bm{(5,6,+\infty)}$

A função vai de crescente a decrescente em x=5,6, então x=5,6 é o máximo da função.

Ainda,

$x=5,6$

é o valor que constitui a superfície máxima. Agora calculamos o valor de

$y :$

$y = \cfrac{40-2\cdot 5,6- \pi \cdot 5,6}{4} = 2,80$

Assim, os valores que compõem a superfície máxima são:

$\bm{x = 5,60} \ \mathbf{m}$

$\bm{y = 2,80} \ \mathbf{m}$

Problema 6

Queremos construir um tanque em forma de cilindro com área de 54 cm ² . Determine o raio da base e a altura do cilindro para que o volume seja máximo.

Veja a solução

Passo 1: Defina a função a ser otimizada.

O volume de um cilindro é calculado pela seguinte fórmula:

$V= A_{base}\cdot h$

A área da base é um círculo, então sua fórmula é

$A_{\text{base}}=\pi r^2$

. A fórmula para o volume do cilindro é, portanto:

$V= \pi r^2 \cdot h$

Já temos a função de otimizar. Mas depende de duas variáveis (

$r$

$h$

) embora só possa depender de um. Porém, o enunciado nos diz que a área do cilindro deve ser 54 cm ² , então aproveitaremos esta condição para encontrar a relação entre

$r$

$h .$