Poderes da matriz

Nesta página veremos como fazer potências de matrizes. Você também encontrará exemplos e exercícios resolvidos passo a passo de potências de matrizes que o ajudarão a entendê-lo perfeitamente. Você também aprenderá o que é a enésima potência de uma matriz e como encontrá-la.

Como é calculada a potência de uma matriz?

Para calcular a potência de uma matriz , você deve multiplicar a matriz por ela mesma quantas vezes o expoente indicar. Por exemplo:

A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A

Portanto, para obter a potência de uma matriz, você precisa saber como resolver a multiplicação de matrizes . Caso contrário, você não poderá calcular uma matriz de potência.

Exemplo de cálculo da potência de uma matriz:

exemplos de potências de matrizes 2x2

Portanto, a potência de uma matriz quadrada é calculada multiplicando a matriz por ela mesma. Da mesma forma, uma matriz cúbica é igual à matriz quadrada da própria matriz. Da mesma forma, para encontrar a potência de uma matriz elevada a quatro, a matriz elevada a três deve ser multiplicada pela própria matriz. E assim por diante.

Existe uma propriedade importante da potência da matriz que você deve conhecer: a potência de uma matriz só pode ser calculada quando ela é quadrada , ou seja, quando possui o mesmo número de linhas que de colunas.

Qual é a potência n de uma matriz?

A enésima potência de uma matriz é uma expressão que nos permite calcular facilmente qualquer potência de uma matriz.

Muitas vezes as potências das matrizes seguem um padrão . Portanto, se conseguirmos decifrar a sequência que seguem, poderemos calcular qualquer potência sem ter que fazer todas as multiplicações.

Isso significa que podemos encontrar uma fórmula que nos dê a enésima potência de uma matriz sem precisar calcular todas as potências.

Dicas para descobrir o padrão seguido pelos poderes:

  • A paridade do expoente . Pode ser que poderes pares sejam de um lado e poderes ímpares de outro.
  • Variação de sinais. Por exemplo, pode acontecer que os elementos de potências pares sejam positivos e os elementos de potências ímpares sejam negativos, ou vice-versa.
  • Repetição: se a mesma matriz se repete a cada determinado número de potências ou não.
  • Devemos também verificar se existe uma relação entre o expoente e os elementos da matriz.

Exemplo de cálculo da potência n de uma matriz:

  • Ser

    A

    a seguinte matriz, calcule

    A^n

    E

    A^{100}

    .

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}

Vamos primeiro calcular várias potências da matriz

A

, para tentar adivinhar o padrão seguido pelas potências. Então calculamos

A^2

,

A^3

,

A^4

E

A^5:

exercício resolvido passo a passo das potências de matrizes 2x2

Ao calcular até

A^5

, vemos que as potências da matriz

A

Elas seguem um padrão: para cada aumento de potência, o resultado é multiplicado por 2. Portanto, todas as matrizes são potências de 2:

\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2^1 & 2^1 \\[1.1ex] 2^1 & 2^1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 4 & 4 \\[1.1ex] 4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^2 & 2^2 \\[1.1ex] 2^2 & 2^2 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 8 & 8 \\[1.1ex] 8 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\[1.1ex] 2^3 & 2^3 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 16 & 16 \\[1.1ex] 16 & 16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^4 & 2^4 \\[1.1ex] 2^4 & 2^4 \end{pmatrix}

Podemos, portanto, derivar a fórmula para a enésima potência da matriz

A:

enésima potência de uma matriz 2x2

E a partir desta fórmula podemos calcular

A^{100}:

exercício resolvido passo a passo potência de uma matriz 2x2

Problemas de potência de matriz resolvidos

Exercício 1

Considere a seguinte matriz de dimensão 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix}

Calcular:

\displaystyle A^4

Para calcular a potência de uma matriz, você deve multiplicar a matriz uma por uma. Portanto, primeiro calculamos

\displaystyle A^2 :

\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1\end{pmatrix}

Agora calculamos

\displaystyle A^3 :

\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix}

E finalmente calculamos

\displaystyle A^4 :

\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-8} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-7} \end{pmatrix}

Exercício 2

Considere a seguinte matriz de ordem 2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}

Calcular:

\displaystyle A^{35}

\displaystyle A^{35}

é uma potência muito grande para ser calculada manualmente, então as potências da matriz devem seguir um padrão. Então vamos calcular

\displaystyle A^5

para tentar entender a sequência que eles seguem:

\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}

Desta forma podemos ver o padrão que as potências seguem: a cada potência, todos os números permanecem iguais, exceto o elemento da segunda coluna da segunda linha, que é multiplicado por 3. Portanto, todos os números permanecem sempre iguais. e o último elemento é uma potência de 3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^2 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^3 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^4 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^5 \end{pmatrix}

Portanto, a fórmula para a enésima potência da matriz

\displaystyle A

Leste:

\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^n\end{pmatrix}

E a partir desta fórmula podemos calcular

\displaystyle A^{35}:

\displaystyle\bm{A^{35}=}\begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{3^{35}}\end{pmatrix}

Exercício 3

Considere a seguinte matriz 3×3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Calcular:

\displaystyle A^{100}

\displaystyle A^{100}

é uma potência muito grande para ser calculada manualmente, então as potências da matriz devem seguir um padrão. Então vamos calcular

\displaystyle A^5

para tentar entender a sequência que eles seguem:

\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Desta forma podemos ver o padrão que as potências seguem: a cada potência, todos os números permanecem iguais, exceto as frações, que aumentam uma unidade no numerador:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Portanto, a fórmula para a potência da enésima matriz

\displaystyle A

Leste:

\displaystyle A^n= \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{5} & \frac{n}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

E a partir desta fórmula podemos calcular

\displaystyle A^{100}:

\displaystyle A^{100}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{100}{5} & \frac{100}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{20} & \bm{20} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}

Exercício 4

Considere a seguinte matriz de tamanho 2×2:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

Calcular:

\displaystyle A^{201}

\displaystyle A^{201}

é uma potência muito grande para ser calculada manualmente, então as potências da matriz devem seguir um padrão. Neste caso é necessário calcular

\displaystyle A^{8}

para saber a sequência que seguem:

\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}

\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}

\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^7= A^6 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}

\displaystyle A^8= A^7 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}

Com esses cálculos podemos ver que a cada 4 potências obtemos a matriz identidade. Isso quer dizer que nos dará como resultado a matriz identidade dos poderes

\displaystyle A^4

,

\displaystyle A^8

,

\displaystyle A^{12}

,

\displaystyle A^{16}

,… Então, para calcular

\displaystyle A^{201}

devemos decompor 201 em múltiplos de 4:

exercício resolvido passo a passo das potências de matrizes 2x2 e potência n

\displaystyle 201= 4 \cdot 50 +1

,Ainda,

A^{201}

serão 50 vezes

\displaystyle A^{4}

e uma vez

\displaystyle A^{1}:

\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1

E como sabemos disso

\displaystyle A^4

é a matriz identidade

\displaystyle I :

\displaystyle A^4 =I

\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1 = I^{50}\cdot A

Além disso, a matriz identidade elevada a qualquer número fornece a matriz identidade. Ainda:

\displaystyle A^{201}= I^{50}\cdot A = I \cdot A

E, finalmente, qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade dá a mesma matriz. ENTÃO:

\displaystyle A^{201}= I \cdot A = A

Para que

A^{201}

é igual a

A:

\displaystyle A^{201}= A =\begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{0} \end{pmatrix}

Exercício 5

Considere a seguinte matriz de ordem 3:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}

Calcular:

\displaystyle A^{62}

Obviamente, calcule a potência da matriz

\displaystyle A^{62}

Este é um cálculo muito grande para ser feito manualmente, então as potências da matriz devem seguir um padrão. Neste caso é necessário calcular

\displaystyle A^{6}

para saber a sequência que seguem:

\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}

\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Com esses cálculos podemos ver que a cada 3 potências obtemos a matriz identidade. Isso quer dizer que nos dará como resultado a matriz identidade dos poderes

\displaystyle A^3

,

\displaystyle A^6

,

\displaystyle A^{9}

,

\displaystyle A^{12}

,… Então isso para calcular

\displaystyle A^{62}

Devemos decompor 62 em múltiplos de 3:

exercício resolvido passo a passo de uma potência de uma matriz 3x3, enésima potência

\displaystyle 62= 3 \cdot 20 +2

,Ainda,

\displaystyle A^{62}

serão 20 vezes

\displaystyle A^{3}

e uma vez

\displaystyle A^{2}:

\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2

E como sabemos disso

\displaystyle A^3

é a matriz identidade

\displaystyle I :

\displaystyle A^3 =I

\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2 = I^{20}\cdot A^2

Além disso, a matriz identidade elevada a qualquer número fornece a matriz identidade. Ainda:

\displaystyle A^{62}= I^{20}\cdot A^2 = I \cdot A^2

Finalmente, qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade dá a mesma matriz. Ainda:

\displaystyle A^{62}= I \cdot A^2 = A^2

Para que

A^{62}

será igual a

A^{2}

, para o qual calculamos o resultado anteriormente:

\displaystyle A^{62}= A^2=\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{3} & \bm{1} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{-2} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{-1} \end{pmatrix}

Se esses exercícios sobre potências de matrizes quadradas foram úteis para você, você também pode encontrar exercícios passo a passo resolvidos sobre adição e subtração de matrizes , uma das operações com matrizes mais utilizadas.

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