Nesta página você encontrará todas as posições relativas possíveis de dois planos (planos secos, paralelos ou coincidentes). Você também descobrirá como é calculada a posição relativa entre dois planos e, além disso, poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos.
Quais são as posições relativas de dois planos?
Na geometria analítica, existem apenas três posições relativas possíveis entre dois planos: planos secantes, planos paralelos e planos coincidentes.
- Planos que se cruzam : Dois planos estão se cruzando se eles se cruzarem apenas em uma linha.
- Planos paralelos : Dois planos são paralelos se não se cruzam em nenhum ponto.
- Planos Coincidentes : Dois planos são coincidentes se todos tiverem pontos em comum.
planos que se cruzam
planos paralelos
planos coincidentes
Existem dois métodos para encontrar a posição relativa entre dois planos: um a partir dos coeficientes das equações gerais dos dois planos e outro calculando as classificações de duas matrizes. Abaixo está uma explicação de cada procedimento.
Como determinar a posição relativa de dois planos por coeficientes
Uma maneira de saber qual é a posição relativa entre dois planos é usar os coeficientes de suas equações gerais (ou implícitas).
Considere então a equação geral (ou implícita) de dois planos diferentes:
A posição relativa entre os dois planos no espaço tridimensional (em R3) depende da proporcionalidade dos seus coeficientes ou parâmetros:
Portanto, os dois planos se cruzarão quando um dos coeficientes A, B ou C não for proporcional aos demais. Por outro lado, os dois planos serão paralelos quando apenas os termos independentes não forem proporcionais. E, finalmente, os planos coincidirão quando todos os coeficientes das duas equações forem proporcionais.
Por exemplo, vamos calcular a posição relativa dos dois planos a seguir:
Para saber que tipo de aeronave se trata, é preciso verificar quais coeficientes são proporcionais:
Os coeficientes A, B e C são proporcionais entre si, mas não ao coeficiente D, portanto os dois planos são paralelos .
Como calcular a posição relativa de dois planos por intervalos
Outra forma de conhecer a posição relativa de dois planos determinados consiste em calcular o intervalo de duas matrizes formadas pelos coeficientes desses planos.
Assim, sejamos a equação geral (ou implícita) de dois planos diferentes:
Chamamos de A a matriz composta pelos coeficientes A, B e C das duas equações:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f97413606a79781a34e0664a780b35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E seja a matriz A’ a matriz expandida com todos os coeficientes das duas equações:
![\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-534e5baa11d1331cda0fa48c167a322f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A posição relativa dos dois planos pode ser conhecida com base nos intervalos das duas matrizes anteriores:
Que as posições relativas dependem das classificações dessas duas matrizes pode ser mostrado no toerem de Rouche-Frobenius (um teorema usado para resolver sistemas de equações lineares). Porém, nesta página não faremos a demonstração porque não é necessário conhecê-la e também não fornece muita coisa.
Para que você possa ver como isso é feito, calcularemos a posição relativa entre os dois planos a seguir:
A primeira coisa a fazer é construir a matriz A e a matriz estendida A’ com os coeficientes das equações dos dois planos:
![\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5cfb4d05d76542970c1f7db9ef1b31a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E agora precisamos calcular a classificação de cada matriz. Primeiro encontramos a extensão da matriz A por determinantes:
![\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad5c0df1a15c695be7c0c5c71304cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A matriz A contém uma submatriz 2×2 cujo determinante é diferente de zero, portanto é uma matriz de posto 2.
Por outro lado, também é necessário calcular o posto da matriz A’. E o posto da matriz estendida A’ será sempre pelo menos igual ao da matriz A, portanto, neste caso específico o posto da matriz A’ também é igual a 2.
Para que as extensões das duas matrizes sejam equivalentes e de valor 2, portanto, os dois planos se cruzam .
Problemas resolvidos da posição relativa de dois planos
Exercício 1
Estude a posição relativa dos dois planos a seguir:
Para calcular a posição relativa entre os dois planos, veremos se os coeficientes das equações dos dois planos são proporcionais:
Todos os coeficientes das equações implícitas dos dois planos são proporcionais entre si, são portanto dois planos coincidentes .
Exercício 2
Determine a posição relativa dos dois planos a seguir:
Para determinar a posição relativa entre os dois planos, analisaremos a proporcionalidade dos coeficientes de suas equações:
Os coeficientes A e C das equações implícitas dos dois planos são proporcionais entre si, mas não ao coeficiente B. São, portanto, dois planos secantes .
Exercício 3
Encontre a posição relativa dos 2 planos a seguir:
Para determinar a posição relativa entre os dois planos, é necessário verificar se os coeficientes das equações dos dois planos são proporcionais:
Os três primeiros parâmetros (A, B e C) das equações dos dois planos são proporcionais entre si mas não ao parâmetro D, portanto os dois planos são paralelos .
Exercício 4
Calcular o valor do parâmetro
de modo que os dois planos a seguir sejam paralelos:
Para que os dois planos sejam paralelos, os coeficientes A, B e C em suas equações devem ser proporcionais. Em outras palavras, a seguinte igualdade deve ser verificada:
Neste caso particular, os coeficientes A e B do primeiro plano são metade dos do segundo plano:
Portanto, precisamos resolver a equação acima. E, para isso, cruzamos as duas frações:
Então o valor do parâmetro
deve ser igual a 10.
