Ponto simétrico em relação a outro ponto, a uma reta e a um plano

Aqui você descobrirá como calcular o ponto de simetria em relação a outro ponto, em relação a uma reta e em relação a um plano. Além disso, você poderá ver exemplos e exercícios resolvidos passo a passo.

Ponto simétrico a outro ponto

Antes de vermos como o ponto simétrico é calculado, vamos revisar o que exatamente é um ponto simétrico em relação a outro ponto:

O ponto A’ é o ponto simétrico do ponto A em relação a outro ponto M se o ponto A’ estiver localizado simetricamente à mesma distância do ponto M que a distância entre os pontos A e M. Portanto, M é o ponto médio do segmento formado por pontos A e A’.

$d(A,M) = d(A',M )$

Por outro lado, dizemos também que o ponto M é o centro de simetria.

Assim, para calcular as coordenadas do ponto de simetria, utilizaremos a fórmula do ponto médio de um segmento :

$\cfrac{A+A'}{2}=M$

Desta equação extraímos o ponto desconhecido A’ e obtemos a fórmula para o ponto simétrico em relação a outro ponto:

$\color{orange} \boxed{ \color{black} \quad A' = 2M - A \quad \vphantom{\Bigl)}}$

Exemplo de encontrar o ponto simétrico em relação a outro ponto

Como exemplo, calcularemos o ponto de simetria do ponto A em relação ao ponto M. Considere os dois pontos:

$A(1,3,0) \qquad \qquad M(-1,4,2)$

Para determinar o ponto de simetria entre esses dois pontos, aplicamos a fórmula do ponto de simetria em relação a outro:

$A' = 2M - A$

Agora substituímos os pontos na fórmula:

$A' = 2(-1,4,2) -(1,3,0)$

E operamos:

$A' = (-2,8,4) -(1,3,0)$

$\bm{A'=(-3,5,4)}$

ponto simétrico a uma linha reta

Acabamos de ver a noção de um ponto que é simétrico em relação a outro ponto. Bem, o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta é muito semelhante:

O ponto A’ é o ponto simétrico do ponto A em relação a uma reta se os dois pontos A’ e A estão na mesma reta perpendicular à reta e, além disso, a distância entre o ponto A’ e a reta é igual à distância entre o ponto A e a reta.

$d(A,r)= d(A',r)$

Portanto, a reta r também é um eixo de simetria entre os pontos.

Assim, para determinar o ponto de simetria do ponto A em relação à reta r , devemos seguir o seguinte procedimento:

Encontramos o plano perpendicular à reta r que passa pelo ponto A (plano π da representação gráfica anterior). Para isso, devemos utilizar o vetor direção da reta, que será o vetor normal do plano.
Calculamos o ponto de intersecção entre o plano encontrado e a reta (ponto M na imagem anterior).
Usamos a fórmula ponto sobre ponto simétrico (vista na seção acima) para encontrar o ponto simétrico do ponto A em relação ao ponto M. O resultado é o ponto simétrico que procurávamos.

Exemplo de cálculo do ponto de simetria em relação a uma reta

Assim que soubermos calcular o ponto de simetria de outro ponto em relação a uma reta, veremos um exercício resolvido como exemplo:

Encontre o ponto simétrico do ponto A em relação à linha r. Sendo dito ponto e linha:

$\displaystyle A(4,0,-1) \qquad \qquad r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases}$

Primeiro, precisamos calcular o plano perpendicular à reta r que passa pelo ponto A. O vetor normal a este plano será o vetor diretor da reta, cujos componentes são os termos na frente do parâmetro

$t$

porque é expresso na forma de equações paramétricas:

$\vv{n}=(1,4,-3)$

E os coeficientes A, B e C da equação de um plano coincidem com as coordenadas do seu vetor normal, portanto:

$\vv{n}=(1,4,-3) \quad \longrightarrow \quad \pi : \ 1x+4y-3z+D=0$

O ponto A deve estar neste plano, então podemos agora substituir o ponto A na equação do plano para encontrar o coeficiente D:

$A(4,0,-1)$

$4+4\cdot 0-3\cdot (-1)+D=0$

$4+3+D=0$

$7+D=0$

$D=-7$

Portanto, a equação do plano perpendicular à reta ry que passa pelo ponto A é:

$\pi : \ x+4y-3z-7=0$

Depois de conhecermos a equação do plano, precisamos calcular o ponto de intersecção do plano e da reta. Para fazer isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano e resolvemos a equação resultante:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=1 + t \\[1.7ex] y=5 +4t\\[1.7ex] z=-4-3t \end{cases} \qquad \qquad \pi : \ x+4y-3z-7=0$

$(1+t)+4(5+4t)-3(-4-3t)-7=0$

$1+t+20+16t+12+9t-7=0$

$26t+26=0$

$26t=-26$

$t=\cfrac{-26}{26}$

$t=-1$

Agora substituímos o valor de

$t$

obtido na equação da reta:

$\displaystyle t=-1 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=1 -1=0 \\[1.7ex] y=5 +4\cdot (-1)=1\\[1.7ex] z=-4-3\cdot (-1)=-1 \end{cases}$

Portanto, o ponto de intersecção entre a reta r e o plano perpendicular a ela é:

$M(0,1,-1)$

Finalmente, basta encontrar o ponto simétrico do ponto A em relação ao ponto M; para isso, podemos utilizar a fórmula vista no início desta página:

$\begin{aligned} A' & = 2M - A \\[2ex] &= 2(0,1,-1) - (4,0,-1) \\[2ex] & = (0,2,-2)-(4,0,-1)\\[2ex] & = \bm{(-4,2,-1)} \end{aligned}$

ponto simétrico a um plano

Antes de vermos o método de determinação do ponto de simetria de outro ponto em relação a um plano, vejamos qual é a sua definição:

O ponto A’ é o ponto simétrico do ponto A em relação a um plano se os dois pontos A’ e A estão na mesma linha perpendicular ao plano e, além disso, a distância entre o ponto A’ e o plano é equivalente à distância entre o ponto A e o plano.

ponto simétrico a outro ponto relativo a um plano

$d(A,\pi)= d(A',\pi)$

Portanto, o plano também é um plano de simetria entre os dois pontos.

Assim, para conhecer as coordenadas cartesianas do ponto simétrico do ponto A em relação ao plano π, deve-se seguir os seguintes passos:

Encontramos a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto A. Para isso usaremos o vetor normal ao plano como vetor diretor da reta.
Calculamos o ponto de intersecção entre o plano e a reta encontrada (ponto M da imagem anterior).
Usamos a fórmula ponto sobre ponto simétrico (vista na seção inicial) para encontrar o ponto simétrico do ponto A em relação ao ponto M. O resultado é o ponto simétrico que procurávamos.

Exemplo de determinação do ponto de simetria em relação a um plano

Abaixo você pode ver um problema resolvido referente ao ponto de simetria de outro ponto em relação a um plano:

Determine o ponto de simetria de A em relação ao plano π. Tendo dito ponto e plano:

$\displaystyle A(3,-4,2) \qquad \qquad \pi: \ 2x+y-z-6=0$

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a equação da reta perpendicular ao plano e que passa pelo ponto A. Para isso, podemos usar o vetor normal ao plano como vetor diretor da reta, cujas componentes X, Y, Z são os coeficientes dos termos A, B e C respectivamente da equação do plano:

$\pi: \ 2x+y-z-6=0 \quad \longrightarrow \quad \vv{n} = (2,1,-1)$

Podemos agora construir as equações paramétricas da reta ortogonal ao plano com o vetor diretor encontrado e um de seus pontos (ponto A):

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=3 + 2t \\[1.7ex] y=-4 +t\\[1.7ex] z=2-t \end{cases}$

Uma vez conhecida a reta perpendicular, calculamos o ponto de intersecção do plano e da reta substituindo as coordenadas da reta na equação do plano:

$\displaystyle r: \ \begin{cases}x=3 + 2t \\[1.7ex] y=-4 +t\\[1.7ex] z=2-t \end{cases} \qquad \qquad \pi : \ 2x+y-z-6=0$

$2(3+2t)+(-4+t)-(2-t)-6=0$

$6+4t-4+t-2+t-6=0$

$6t-6=0$

$6t=6$

$t=\cfrac{6}{6}$

$t=1$

Agora substituímos o valor de

$t$

obtido na equação da reta:

$\displaystyle t=1 \ \longrightarrow \ \begin{cases}x=3 + 2\cdot 1 =5\\[1.7ex] y=-4 +1=-3\\[1.7ex] z=2-1=1 \end{cases}$

Portanto, o ponto de intersecção entre o plano e a reta perpendicular é:

$M(5,-3,1)$

Por fim, só precisamos encontrar o ponto simétrico do ponto A em relação ao ponto M. E, para isso, podemos usar a fórmula vista no início desta página:

$\begin{aligned} A' & = 2M - A \\[2ex] &= 2(5,-3,1) - (3,-4,2) \\[2ex] & = (10,-6,2)-(3,-4,2)\\[2ex] & = \bm{(7,-2,0)} \end{aligned}$

Ponto simétrico em relação a outro ponto, uma reta e um plano