Nesta página você encontrará o que é um polinômio mônico, bem como exemplos de polinômios mônicos. Você também poderá ver as propriedades desse tipo de polinômio e como um polinômio se torna mônico.
O que é um polinômio unitário?
A definição do polinômio unitário é a seguinte:
Em matemática, um polinômio unitário é um polinômio com uma única variável e cujo coeficiente líder é igual a 1.
Polinômios mônicos também são chamados de polinômios unitários ou polinômios normativos.
Por exemplo, o seguinte polinômio de grau 2 é mônico porque é um polinômio univariável e sua inclinação é 1:
Obviamente, para entender o conceito de polinômio unitário, você precisa saber qual é a inclinação de um polinômio. Se você não tem certeza disso, recomendamos que dê uma olhada na explicação do que são todas as partes de um polinômio , onde, além disso, você poderá ver as demais partes (ou elementos) que compõem um polinômio acompanhado de exemplos e exercícios resolvidos para praticar.
Exemplos de polinômios mônicos
Depois de vermos o que significa um polinômio ser mônico, vejamos alguns exemplos desse tipo de polinômio:
Exemplo de um polinômio unitário de segundo grau:
Exemplo de um polinômio unitário de terceiro grau:
Exemplo de um polinômio unitário de quarto grau:
Como transformar qualquer polinômio em mônico
Agora que sabemos o significado do polinômio mônico, veremos como converter um polinômio em mônico, ou em outras palavras, como “monizar” um polinômio. Este processo também é chamado de normalização de um polinômio.
Então vamos resolver um exercício passo a passo para ver como se faz:
Para normalizar o polinômio, precisamos dividir todos os elementos que compõem o polinômio pelo coeficiente do termo de maior grau do polinômio. Neste caso, o coeficiente do termo de maior grau é 4, portanto:
![\begin{aligned} \cfrac{P(x)}{4} & =\cfrac{4x^5}{4}+\cfrac{3x^4}{4}-\cfrac{8x^2}{4}+\cfrac{2x}{4}-\cfrac{12}{4} \\[2ex] & = \cfrac{4}{4}x^5+\cfrac{3}{4}x^4-\cfrac{8}{4}x^2+\cfrac{2}{4}x-\cfrac{12}{4} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cee7fd835cb649bc1659f7ad895f028_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Agora vamos simplificar as frações do polinômio:
E desta forma já convertemos o polinômio do problema em um polinômio mônico.
Propriedades de polinômios mônicos
Os polinômios mônicos têm as seguintes características:
- O produto de um polinômio mônico por outro polinômio mônico sempre dá um polinômio mônico.
Isto se deve às propriedades de multiplicação dos polinômios . A página vinculada não apenas explica como os polinômios são multiplicados, mas você também aprenderá por que isso acontece com as propriedades do produto dos polinômios.
- Se um polinômio unitário for composto apenas por coeficientes inteiros, as raízes desse polinômio unitário serão inteiros.
As raízes (ou zeros) de um polinômio são números que definem um polinômio, portanto é um conceito muito importante. Se você não sabe o que são ou como são calculados, pode visitar nossa página de exercícios resolvidos para as raízes de um polinômio, onde explicamos em que consistem as raízes de um polinômio, como encontrá-las e você pode até pratique com exercícios resolvidos passo a passo.
- Embora o coeficiente de um polinômio multivariável seja unitário, ele nunca é considerado um polinômio mônico precisamente porque possui mais de uma variável.
