Esta página explica o que é um polinômio completo e você também pode ver exemplos de polinômios completos. Além disso, você descobrirá o que significa um polinômio ser completo e ordenado ao mesmo tempo. E por fim, analisaremos as diferenças entre polinômios completos e polinômios incompletos.
O que é um polinômio completo?
Em matemática, a definição de um polinômio completo é:
Um polinômio completo é aquele polinômio que é formado por todos os termos de todos os graus, ou seja, um polinômio completo possui todos os termos desde o monômio do maior grau até o termo independente.
Por exemplo, o seguinte polinômio está completo:
Na verdade, é um polinômio completo porque é composto por todos os termos do grau três ao grau zero: o monômio x 3 é do terceiro grau, o termo 4x 2 é do segundo grau, o elemento -5x é do primeiro grau e, finalmente, o número 3 é o grau 0.
Por outro lado, um conceito que você deve ter bem claro é o que se chama de termo de grau zero de um polinômio (o número 3 do polinômio anterior), pois possui um nome específico. Caso contrário, recomendo que você dê uma olhada em qual é o termo independente de um polinômio , onde é explicado detalhadamente.
Exemplos de polinômios completos
Depois de conhecermos o conceito de polinômio completo, vamos ver mais exemplos desse tipo de polinômio:
- Exemplo de um polinômio completo de grau 2:
- Exemplo de um polinômio completo de grau 4:
- Exemplo de um polinômio completo de grau 7:
Embora seja um conceito totalmente diferente, se você chegou até aqui certamente também terá interesse em saber o que é a decomposição polinomial de um número. Na verdade, é algo que poucas pessoas conhecem, mas na verdade é muito útil.
Polinômio completo e ordenado
Agora que sabemos quando um polinômio está completo, vamos ver o que são polinômios completos e ordenados.
Lembre-se de que um polinômio ordenado consiste em um polinômio em que todos os termos são ordenados do grau mais alto para o grau mais baixo. Por exemplo, o seguinte polinômio é ordenado:
Portanto, um polinômio completo e ordenado é aquele polinômio que satisfaz as propriedades de polinômios completos e polinômios ordenados ao mesmo tempo. Ou seja, um polinômio completo e ordenado é aquele que possui todos os monômios de todos os graus e, além disso, esses monômios são ordenados em ordem decrescente.
Como você pode ver, o polinômio do exercício anterior está completo e ordenado pois possui todos os termos do grau 5 ao termo independente e, além disso, todos esses termos estão em ordem.
Embora pareçam algo muito simples, os polinômios ordenados são mais importantes do que parecem. Por exemplo, na multiplicação e divisão de polinômios, é essencial que os polinômios estejam bem ordenados para realizar a operação corretamente. Caso você não saiba do que estou falando, aqui estão duas páginas que explicam como multiplicar polinômios e como dividir polinômios .
Polinômio completo e incompleto
Finalmente, analisaremos como os polinômios completos e os polinômios incompletos diferem.
Um polinômio incompleto é um polinômio que NÃO possui todos os monômios de todos os graus, mas falta um termo.
Por exemplo, o seguinte polinômio está incompleto porque não possui um monômio de grau 3 ou um termo independente:
Poderíamos, portanto, dizer que um polinômio incompleto é precisamente o oposto de um polinômio completo.
Saber distinguir entre um polinômio completo e um polinômio incompleto é muito importante ao realizar certas operações. Por exemplo, o procedimento da regra de Ruffini muda dependendo se o polinômio é completo ou incompleto. Você pode ver o que é o método Ruffini e como ele é aplicado em nossa página Ruffini (exercícios) .
