O método da peneira de Eratóstenes é um algoritmo matemático usado para encontrar todos os números primos menores que um determinado número. Este sistema foi desenvolvido pelo matemático grego Eratóstenes há mais de 2.000 anos.
Um número primo é um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, o número 2 é primo, pois só é divisível por 1 e 2. O número 4, por outro lado, não é primo, pois é divisível por 1, 2 e 4.
Em geral, o método da peneira de Eratóstenes é uma maneira eficiente de encontrar todos os números primos menores que um determinado número. Para fazer isso, uma lista de números é usada e todos os múltiplos dos números primos encontrados são riscados. Ao final do processo, os números que não foram riscados são os números primos.
Como funciona a peneira de Eratóstenes?
A peneira de Eratóstenes é um conceito poderoso que pode ser usado para encontrar muitos números primos de forma relativamente rápida e fácil . Funciona segundo um princípio simples: qualquer múltiplo de um número primo não pode ser um número primo. Por exemplo, como 3 é primo, 6, 9, 12, 15 e todos os outros múltiplos de 3 não podem ser números primos.
Quando você tenta identificar números primos entre dois números inteiros ou procura novos números primos, todos os múltiplos de números primos podem ser atualizados antes mesmo de a pesquisa começar.
A peneira de Eratóstenes funciona como um filtro, removendo múltiplos de todos os primos anteriores da lista de números para que você não perca tempo testando-os.
Para entender melhor esse método, é necessário utilizar um exemplo prático. Vejamos abaixo como encontrar todos os números primos menores que 20 da seguinte forma:
- Escreva uma lista de números de 2 a 20: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
- Remova todos os múltiplos de 2: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
- Elimine todos os múltiplos de 3: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Ignore todos os múltiplos de 5: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
- Risque todos os múltiplos de 7: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Os números não cruzados são primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Exemplos práticos para encontrar números primos usando a peneira de Eratóstenes
Comparada a outros métodos de determinação de números primos, a peneira de Eratóstenes é rápida e fácil de usar . Especialmente quando os computadores não estão disponíveis. Nenhuma divisão, multiplicação ou fatores de pesquisa são necessários para o processo.
Em ambos os casos, a peneira elimina rapidamente números que definitivamente não são primos. O conceito deste método baseia-se no fato de que todo número pode ser dividido em fatores . Esses fatores podem então ser divididos, se necessário, até que restem apenas os fatores primos.
Isso é chamado de fatoração prima de um número. Tal processo indica que todos os números não primos possuem um conjunto único de fatores primos.
Em outras palavras, qualquer número não primo tem um número primo como fator. Uma vez identificado um número primo, todos os seus múltiplos podem ser automaticamente considerados não primos . A peneira de Eratóstenes é um método para eliminá-los. Como exemplo, podemos considerar os números primos entre 1 e 30:
A primeira coisa que você precisa entender é que os números primos são aqueles que são divididos pelo número 1 e por eles próprios. Ficando claro, tomemos o exemplo do crivo de Eratóstenes:
- Desenhe uma tabela com os números de 1 a 30.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dez |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vinte |
| vinte e um | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Em seguida, marque o número 2 como um número primo e remova todos os múltiplos de 2 da lista.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dez |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vinte |
| vinte e um | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- A seguir, considere o próximo número não marcado, que é 3, como um número primo e risque todos os seus múltiplos da lista.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dez |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vinte |
| vinte e um | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Em seguida, retire da lista todos os múltiplos de 5 sem marcar 5. Neste caso é simples, basta retirar os números que terminam em 5 e 0.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | dez |
| onze | 12 | 13 | 14 | quinze |
| 16 | 17 | 18 | 19 | vinte |
| vinte e um | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- Finalmente, o próximo passo é encontrar os múltiplos de 7 que já foram eliminados anteriormente, riscando os múltiplos de 2 e 3 (14 e 21).
Após esse processo, temos que os números primos entre 2 e 30 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 .
Quais são as aplicações da peneira de Eratóstenes na vida cotidiana?
Embora possa parecer que este algoritmo não tem muitas aplicações práticas na vida cotidiana, na verdade ele tem várias aplicações importantes.
Uma das aplicações mais comuns da peneira de Eratóstenes é na criptografia . Os números primos desempenham um papel fundamental na segurança de muitos sistemas de criptografia. Portanto, a peneira de Eratóstenes é uma ferramenta útil para encontrar e gerar números primos.
Outra aplicação relevante do crivo de Eratóstenes é a fatoração de números. Se quiser encontrar os fatores de um número grande , você pode usar a peneira de Eratóstenes para determinar quais números primos dividem esse número. Isso pode ser útil para resolver problemas matemáticos ou analisar a estrutura de um número.
Além disso, a peneira de Eratóstenes é utilizada em algoritmos de otimização e no estudo de conjuntos de dados. Por exemplo, pode ser usado para encontrar padrões ou tendências em grandes conjuntos de dados digitais.
Em geral, embora a peneira de Eratóstenes seja um algoritmo matemático muito simples , ela tem muitas aplicações práticas na vida diária.
Como explicar a peneira de Eratóstenes para uma criança?
Embora possa parecer um tema complexo, pode ser facilmente explicado às crianças através de exemplos e jogos. Aqui estão algumas idéias para explicar a peneira de Eratóstenes às crianças:
- Comece explicando o que são os números primos
- Ajude as crianças a compreender como a peneira de Eratóstenes é usada para encontrar números primos. Uma maneira de fazer isso é usar um jogo de eliminação. Por exemplo, peça às crianças que removam todos os múltiplos de 2 de uma lista de números de 2 a 30. Depois, podem remover todos os múltiplos de 3 e assim por diante. Os números não eliminados são os números primos.
- Para tornar o conceito mais interessante para as crianças, elas podem brincar de encontrar números primos em diferentes contextos. Por exemplo, eles podem procurar números primos nas datas de nascimento dos seus amigos ou no número da casa onde moram.
Para reforçar o conceito, vale a pena que as crianças pratiquem a descoberta de números primos utilizando a peneira de Eratóstenes em diferentes intervalos de números. Com essas atividades, as crianças poderão descobrir a peneira de Eratóstenes de forma divertida e compreender sua importância na matemática e no dia a dia.
História do método da peneira de Eratóstenes
Eratóstenes foi um matemático e astrônomo grego que viveu no século III aC. Na verdade, ele é conhecido por suas importantes contribuições à matemática e às ciências, incluindo o método da peneira de Eratóstenes.
Esta grande pessoa viveu numa época de rica experimentação e curiosidade intelectual. Esta era helenística viu a difusão da ciência e da filosofia gregas por todo o mundo ocidental.
Estudiosos e cientistas de todo o mundo reuniram-se em novas bibliotecas e escolas para debater, discutir e aprender uns com os outros. Eratóstenes usou muitas destas ideias como base para um grande número de descobertas matemáticas . Uma dessas descobertas foi a peneira de Eratóstenes.
Eratóstenes foi o bibliotecário da Biblioteca de Alexandria , uma das instituições de pesquisa e ensino mais relevantes da época. Durante seu tempo como bibliotecário, Eratóstenes desenvolveu o método da peneira de Eratóstenes. Este método é um dos melhores quando você precisa localizar números primos menores que um número específico.
O procedimento da peneira de Eratóstenes tem sido usado como uma ferramenta fundamental na matemática desde então. Graças a isso, é aplicável em áreas que vão desde criptografia até pesquisa matemática. Embora existam métodos mais rápidos para encontrar números primos, o método da peneira de Eratóstenes continua sendo uma forma eficaz e amplamente utilizada .