Operações com funções: adição, subtração, produto, divisão e composição

Neste artigo explicamos quais operações podem ser realizadas com funções. Você poderá ver a explicação e também exercícios resolvidos sobre operações com funções. E por fim, você encontrará as propriedades das operações com as funções.

O que são operações com funções?

Você pode realizar 5 tipos diferentes de operações com funções: adição, subtração, produto, divisão e composição. Ou seja, duas funções podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas ou compostas.

A seguir veremos como é realizado cada tipo de operação com funções e as características de cada uma delas.

Soma de funções

O valor da soma (ou adição) de duas funções é igual à soma do valor de cada função. Ou seja, para calcular a imagem de uma função soma, basta somar as imagens das funções envolvidas na operação.

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Além disso, o domínio da soma de duas funções é a intersecção do domínio de cada função somada.

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Vamos ver como duas funções são adicionadas usando um exemplo:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=\log(x-1)$

Primeiro adicionamos as duas funções:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\log(x-1)$

E agora encontramos o domínio da função soma. Para fazer isso, calculamos o domínio de cada função separadamente:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

➤ Veja: como calcular o domínio de uma função

Então, o domínio da função resultante da operação será:

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

Cada operação com funções deve vir acompanhada de seu domínio para definir completamente o resultado.

Subtração de funções

A imagem da subtração (ou diferença) de duas funções é a subtração das imagens de cada função participante da operação:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Tal como acontece com a função de adição, o domínio de subtração de duas funções é equivalente à intersecção do domínio de cada função.

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Assim, se uma função não for definida em um determinado valor da variável independente x, a função resultante da subtração também não será definida.

Vamos ver como duas funções são subtraídas através de um exemplo:

$f(x)=\sqrt{x}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}$

Primeiro subtraímos as duas funções:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\cfrac{3}{x-4}$

E então determinamos o domínio da função de subtração:

$\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}$

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)$

Produto principal

Para calcular o produto ou (a multiplicação) de duas funções , basta multiplicar as expressões de cada função.

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Por outro lado, o domínio da função produto é o conjunto de interseções do domínio de cada função multiplicada.

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Por exemplo, se tivermos as duas funções a seguir:

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}$

Primeiramente realizamos o funcionamento do produto com as duas funções:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}$

E, por fim, encontramos o domínio da função resultante da operação:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$

Distribuição de funções

O resultado numérico de uma divisão (ou quociente) de duas funções corresponde à seguinte equação:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Porém, o domínio de divisão de duas funções é o conjunto de interseções do domínio de cada função menos todo o x que anula a função que atua como divisor, pois caso contrário obteríamos uma indeterminação.

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}$

Como exemplo, dividiremos as seguintes funções:

$f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3$

A distribuição das funções é a seguinte:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}$

Por outro lado, o domínio de cada função separadamente consiste em todos os números reais

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}$

Porém, como não pode haver zero no denominador de uma fração, no domínio da função resultante devemos retirar todos os valores que anulam o denominador (x=3).

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}$

Composição de funções

A composição de funções é a operação mais difícil de resolver, pois é o conceito mais complicado.

A composição de funções consiste na aplicação sucessiva de duas funções. Algebricamente, a composição de duas funções é expressa da seguinte forma:

$(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)$

Por outro lado, o domínio de composição de funções

$(g\circ f)(x)$

é equivalente ao conjunto de todos os valores de x no domínio da função

$f$

como

$f(x)$

pertence ao domínio da função

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

Por exemplo, dadas as duas funções a seguir:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4$

Para encontrar a função composta

$f$

seguido pela

$g$

precisamos substituir a expressão de

$f(x)$

onde há um

$x$

na expressão de

$g(x):$

$\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}$

Neste caso, o domínio de ambas as funções consiste inteiramente em números reais, portanto o domínio da função composta também consistirá em números reais.

$\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}$

Como você pode ver, compor funções não é uma operação simples de entender. Portanto, recomendamos que você pratique os seguintes exercícios de composição de funções:

➤ Veja: exercícios resolvidos sobre composição de funções