A teoria dos conjuntos é um dos quatro elementos da lógica matemática . Esta teoria analisa o agrupamento de elementos estudando suas qualidades e as ligações entre os objetos que compõem o todo.
Quando falamos em conjuntos, nesta teoria nos referimos a grupos abstratos de estruturas que possuem uma característica semelhante. Nesta teoria, operações como interseção, complemento, diferença e união são realizadas com os objetos que criam o todo como tal.
Mais simplesmente, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática baseado em conjuntos. Portanto, avalia todas as propriedades de cada elemento, bem como as ligações que ocorrem entre eles.
Como explicamos bem antes, os conjuntos nada mais são do que grupos de objetos. Ou seja, podem ser símbolos, palavras, números, figuras geométricas, letras, entre outros.
Que tipos de conjuntos existem?
Dependendo da quantidade de objetos contidos em um conjunto, eles são classificados de diferentes maneiras. Estes são:
- Conjuntos finitos : são todos aqueles que possuem um número comum de elementos. Por exemplo, todos os dias da semana, todas as vogais, entre outros.
- Conjuntos infinitos – contêm um número infinito de objetos. Por exemplo, números reais.
- Conjunto universal : reúne todos os objetos levados em consideração em um caso particular. Por exemplo, se você quiser usar o conjunto numérico de um dado, o conjunto universal é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Conjunto vazio : é o conjunto que não possui elementos. Por exemplo, todos os meses do ano que têm 27 dias.
Quais são os métodos para definir um conjunto?
Para definir um conjunto , primeiro estabelecemos um aspecto comum dos elementos do grupo. Por exemplo, um primeiro conjunto contendo inteiros positivos, números pares menores que 20. Ficaria assim:
UMA= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
A partir daqui, dois métodos podem ser usados para definir um conjunto. O primeiro deles é conhecido como método de numeração ou extensão . E o segundo é chamado de método de descrição . No primeiro, os elementos do conjunto são listados especificamente, enquanto no segundo, baseia-se a propriedade que os elementos devem satisfazer.
O primeiro sistema é muito útil para descrever conjuntos que contêm poucos elementos , aqui estão alguns exemplos:
Jogue os dados comuns M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Finito).
Vogais que estão no alfabeto G= {a, e, i, o, u} (Finito).
Enquanto o segundo método é mais prático para definir conjuntos com grande número de elementos , ou conjuntos infinitos. A seguir, mostramos alguns exemplos:
Todos os números naturais menores que 32 S = {x ∈ ℕ | x <32} (concluído).
Todos os números naturais N = {x ∈ ℕ} (Infinito).
O que é um conjunto de números?
Basicamente, a categorização em que os números se enquadram é conhecida como conjuntos de números . Isso em relação às características de cada um deles. Ou seja, se por exemplo um número tiver casas decimais ou se tiver sinal negativo.
Conjuntos de números são cada número que precisamos para realizar diferentes operações matemáticas. Isto se aplica tanto na vida cotidiana quanto em cenários mais complexos, como ciência ou engenharia.
Esses conjuntos vêm de criações da mente humana. Eles são, portanto, constituídos em abstrato. Em outras palavras, os conjuntos digitais não existem materialmente . Os conjuntos de números são então divididos em vários tipos de números.
- Números naturais : estes são os que todos usamos para contar. Eles se estendem ao infinito e ocupam pequenas frações de uma unidade. Formalmente, o conjunto dos números naturais é expresso pela letra N e da seguinte forma: ℕ = {1, 2, 3…} = ℕ \ {0}
- Inteiros : Esses números abrangem os números naturais. Além disso, todos os números que ocupam frações circunspectas, mas que possuem um sinal negativo na frente deles. Da mesma forma, zero também é adicionado. Eles podem ser expressos da seguinte forma: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…}. Neste conjunto, cada um dos números tem seu equivalente com sinal oposto. Em outras palavras, o oposto de 8 é – 8.
- Números racionais : Os números racionais cobrem números expressos como um quociente de dois inteiros e todos os inteiros. Isso significa que eles podem ter um número decimal sem nenhum problema. Este conjunto pode ser expresso da seguinte forma: ℚ = ℤ/ℤ.
- Números irracionais : Esses números não são expressos como um quociente de dois números inteiros. Além disso, eles não são especificados em uma seção periódica contínua, embora se estendam ao infinito. É necessário esclarecer que os números irracionais e racionais fazem parte de conjuntos diferentes. Portanto, eles não têm características comuns. Um exemplo de número irracional é: √123. 11.0905365064.
- Números reais : esses números incluem números racionais e irracionais. Isso significa que este grupo inclui números de menos infinito ao infinito.
- Números imaginários : esses números são obtidos multiplicando a unidade imaginária por qualquer número real. A unidade imaginária se traduz na raiz quadrada de –1. Esses números não têm relação com os números reais. Eles são expressos da seguinte forma: p= r * s. Neste caso: p é um número imaginário, r é um número real e s é a unidade imaginária.
- Números complexos – Os números complexos têm uma parte imaginária e uma parte real. Sua estrutura é expressa da seguinte forma: v + ri. Neste caso: v é um número real, r é a parte imaginária, i é a unidade imaginária
Qual é a união de conjuntos?
Podemos considerar que a união de conjuntos nada mais é do que uma operação binária que se realiza sobre o conjunto de todos os conjuntos internos de um U. Entenda por operação binária aquela que depende do operador e de dois argumentos para que haja um determinado Cálculo.
Nesse sentido, cada par de conjuntos A e B que fazem parte de U está associado a outro conjunto (AUB) de U. Assim, se A e B são dois conjuntos distintos, a união dos conjuntos é expressa da seguinte forma: A={ Luís, Carlos}, B={Carla, Luísa, Paola}; AUB={Luís, Carlos, Carla, Luísa, Paola}.
Qual é a intersecção de conjuntos?
A interseção de conjuntos é uma operação que deriva em outro conjunto com objetos repetidos ou frequentes nos conjuntos originais. Caso ocorra uma interseção de conjuntos vazios, ela é definida como disjunta. Neste caso, é expresso da seguinte forma: S ∩ D = Ø.
O símbolo ∩ nesta operação responde à interseção. Para entender melhor, vejamos o seguinte exemplo:
M= {Verde, Preto, Branco, Roxo}.
J = {Preto, Verde, Rosa, Azul}.
Neste caso: M ∩ J = {verde, preto} porque estes são os objetos que se repetem nos dois conjuntos iniciais.
Qual é a diferença geral?
A diferença de conjuntos é a terceira operação que faz parte da teoria dos conjuntos. É definida como a operação que permite obter um novo conjunto a partir dos objetos de A que não estão contidos em B. Por exemplo:
UMA = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Portanto, a diferença do conjunto é obtida dos elementos que fazem parte do conjunto A, mas não do conjunto B. Isso resulta em {10, 12, 14}.
Qual é o complemento de um conjunto?
O complemento de um conjunto é definido como todos os objetos de U que não fazem parte do conjunto. Em outras palavras, é um conjunto que possui elementos que não constituem o conjunto original. Para melhor compreender este conceito, é fundamental conhecer os objetos que são utilizados, ou pelo contrário o tipo de conjunto universal.
Ou seja, se por exemplo estamos falando de números primos , o conjunto complementar é o dos números não primos. Ao mesmo tempo, o conjunto dos números primos é o complemento dos números não primos.
Qual é a diferença simétrica entre os conjuntos?
A diferença simétrica de conjuntos é um conjunto cujos objetos fazem parte de um conjunto inicial, sem ter nada a ver com os outros dois conjuntos ao mesmo tempo. Se exemplificarmos esta operação a partir da teoria dos conjuntos, temos o seguinte:
{1, 2, 3} e {2, 3, 4, 6, 9, 8} = a diferença simétrica seria {1, 4, 6, 9, 8}.
O que é o diagrama de Venn?
Os gráficos que fazem parte do diagrama de Venn são todos aqueles expressos por uma linha contínua fechada. Ou seja, ovais, triângulos, círculos, entre outros. Em geral, o conjunto universal é expresso como um retângulo. Os demais conjuntos são expressos geometricamente com círculos ou ovais.
É importante ter em mente que este diagrama não envolve nenhuma prova matemática. Contudo, é útil ter uma intuição da ligação entre um determinado conjunto e outro.
Onde a teoria dos conjuntos se aplica?
As áreas de aplicação da teoria dos conjuntos são numerosas. É utilizado principalmente na formulação de bases lógicas geométricas. No entanto, possui outras aplicações, como topologia . De modo geral, esta teoria é relevante em ciências, matemática, física, biologia, química e até engenharia.
Para entender melhor a lógica matemática , é fundamental conhecer bem este elemento, a teoria dos conjuntos é uma das mais importantes. Além disso, não tem aplicação apenas na matemática, como já explicamos bem antes.
Como falamos sobre a teoria dos conjuntos na linguagem cotidiana?
A teoria dos conjuntos é uma parte fundamental da matemática. Mas isto também diz respeito a áreas que são mais diárias do que operacionais. Em outras palavras, nem sempre são conjuntos numéricos. Na linguagem tradicional, referir-se a um conjunto é um pouco mais complexo.
A razão é que se quisermos constituir um grupo dos pintores mais significativos, por exemplo, as percepções serão variadas. Portanto, o consenso é virtualmente impossível . Resumindo, não é tão fácil determinar quem está ou não no grupo com base em suas qualidades.
Alguns desses conjuntos específicos são aqueles definidos como conjuntos vazios ou que não possuem elementos. Além disso, poderíamos estar lidando com conjuntos de um único elemento ou unidades.
Qual é a história da teoria dos conjuntos?
A teoria dos conjuntos surge devido às pesquisas do alemão Georg Cantor . Esse personagem era um matemático renomado. Na verdade, até hoje ele é conhecido como o pai desta teoria. Entre as investigações mais relevantes dos pesquisadores estão os conjuntos numéricos e infinitos.
A primeira pesquisa de Cantor relacionada à teoria dos conjuntos foi em 1874. Além disso, é importante mencionar que seu trabalho permaneceu vinculado às pesquisas de Richard Dedekind , importante matemático da época. Mesmo este último desempenhou um papel fundamental no estudo dos números naturais.
Quão importante é a teoria dos conjuntos?
O estudo desta teoria é essencial para a análise da probabilidade , da matemática em tudo o que lhe diz respeito e da estatística. Cada uma das operações que fazem parte desta teoria é utilizada para realizar experimentos a fim de obter um resultado específico.
As respostas sempre têm a ver com as circunstâncias em que o experimento é conduzido. Por isso, os conjuntos desempenham um papel fundamental neste tipo de pesquisa .