O conjunto inteiro é uma coleção de todos os números positivos e negativos. Neste artigo, falaremos sobre as propriedades desses números, como eles são representados na reta numérica, quais operações você pode fazer com eles e muito mais.
O que são números inteiros?
Os inteiros são todos números naturais e negativos , não decimais. Portanto, em matemática, o conjunto dos inteiros é o conjunto de todos os números naturais mais o conjunto dos números negativos e o número zero . Este conjunto é, por sua vez, uma subcategoria do conjunto dos números racionais .
Inteiros são os números naturais mais os números negativos. Portanto, os inteiros incluem o seguinte intervalo: {-∞,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, ∞}. Portanto, é de vital importância ter um bom entendimento do conjunto dos números naturais e seus inversos (os negativos) , para poder compreender os inteiros.
Subconjuntos de números Z
Pelo que explicamos até agora, podemos deduzir que existem dois tipos de inteiros : inteiros positivos (naturais) e inteiros negativos (negativos). Esses dois conjuntos de números são chamados de subconjuntos de inteiros.
No entanto, também podemos criar outros subconjuntos, como números pares e ímpares, e números primos e compostos. Porque a teoria dos conjuntos aplicada à aritmética nos permite agrupar os números por qualquer propriedade matemática que os descreva.
Exemplos de inteiros
Para esclarecer um pouco o que é um número inteiro, aqui estão alguns exemplos em ordem:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Como você pode ver, estes são os primeiros oito números positivos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), zero e os recíprocos dos números naturais anteriores. Obviamente, estes dezassete exemplos são apenas parte do todo. Mas, a partir deste pequeno grupo de valores, você pode conceituar qualquer número inteiro.
Características do conjunto de inteiros
Este conjunto digital possui uma série de características:
- É infinito, pois é composto por dois conjuntos numéricos infinitos (os números naturais e os negativos).
- Todos os valores deste conjunto têm sinal: positivo (+) ou negativo (-), exceto zero.
- Eles têm uma certa ordem: os números negativos são menores que zero e os números positivos são maiores que zero: Negativos < 0 < Positivos.
- Todos os inteiros são racionais, mas não são fracionários.
- Para cada número inteiro positivo existe um número inteiro negativo igual, mas de sinal oposto.
Representação de inteiros
Na seção anterior comentamos sobre a ordem dos inteiros. Mas, para ver ainda mais claramente, mostraremos você representado na reta numérica .
Como você pode ver, esta reta numérica é a combinação das retas numéricas dos números naturais e dos números negativos. Resumindo, os números negativos com maior valor absoluto são aqueles que vão mais para a esquerda (menor). Enquanto os números positivos com maior valor absoluto são aqueles que vão mais para a direita (maior).
Propriedades de inteiros
Antes de aprender a fazer operações com números inteiros, é muito importante conhecer uma série de propriedades . Desta forma podemos operar com facilidade e sem cometer erros.
Mostramos essas propriedades nesta lista:
- Comutativo: Além de somar e multiplicar dois valores inteiros, a ordem dos fatores não importa. Então, para todos os inteiros a e b:
uma + b = b + uma
ab = ba
- Associativo: Além de somar e multiplicar três ou mais valores inteiros, a ordem dos fatores não importa. Portanto, para todos os inteiros a, b e c.
uma + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
- Distributivo: multiplicar um número por uma soma equivale a obter um divisor comum:
uma(b + c) = ab + ac
- Elemento neutro: são dois números que ao participarem de uma operação com inteiros não modificam o valor inicial. Para multiplicação é 1 e para adição é 0.
um 1 = um
para + 0 = para
- Valor absoluto: qualquer número inteiro negativo possui um número inteiro positivo idêntico, mas sem o sinal. Isto também se aplica a números inteiros positivos, mas o valor absoluto de um positivo é em si positivo.
|-uma| = para
|a| = para
Se você quiser saber mais sobre essas propriedades, recomendamos dar uma olhada em nosso artigo sobre propriedades matemáticas de operações .
Operações com inteiros
Agora você conhece as características do conjunto Z (inteiro), qual a sua ordem e as propriedades desse conjunto para resolução de operações. Portanto, já podemos falar das operações em si.
- Somar inteiros: se somarmos dois inteiros de mesmo sinal, simplesmente somamos seus valores absolutos e adicionamos o sinal na frente. Porém, se somarmos um positivo e um negativo, devemos subtrair seus valores absolutos e escrever o sinal do inteiro com maior valor absoluto:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Subtração de inteiros: ao subtrair dois inteiros, deve-se aplicar a lei dos sinais . Pois nos permite simplificar subtrações que possuem mais de um sinal consecutivo. E assim os convertemos em somas, que já sabemos resolver (explicado na seção anterior). A tabela a seguir explica a lei dos sinais:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
A seguir, apresentamos todos os casos que podemos encontrar:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Multiplicação de inteiros: Para resolver multiplicações de inteiros, basta multiplicar os valores absolutos. E a seguir, adicione o sinal correspondente, usando a lei dos sinais, explicada acima. Agora mostramos os quatro casos existentes de multiplicação:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- A divisão dos inteiros: por fim temos as divisões, para resolvê-las devemos fazer o quociente dos valores absolutos e somar o sinal, com base na lei dos sinais. A seguir, mostramos os quatro casos que você pode encontrar:
20÷5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Como o conjunto de inteiros é usado na vida diária?
O conjunto de inteiros é usado na vida cotidiana de diversas maneiras. Por exemplo, ao tentar medir algo , geralmente são usados números inteiros, especialmente números inteiros positivos.
Eles também são usados para realizar cálculos matemáticos básicos , como adição, subtração, multiplicação e divisão. Isso se aplica a todas as ações diárias que fazemos, como: comprar, calcular moeda, medir a distância de uma viagem, acompanhar o tempo…
Outras maneiras de usar números inteiros na vida diária incluem ordenar objetos (por exemplo, colocar livros em uma estante em ordem alfabética) e rastrear locais (por exemplo, encontrar um edifício em um mapa). Concluindo, quase tudo que você faz tem valores inteiros ao seu redor.