Nesta página veremos como multiplicar matrizes de dimensões 2×2, 3×3, 4×4, etc. Explicamos passo a passo o procedimento de multiplicação de matrizes através de um exemplo, a seguir você encontrará exercícios resolvidos para que também possa praticar. Finalmente, você aprenderá quando duas matrizes não podem ser multiplicadas e todas as propriedades desta operação matricial.
Como multiplicar duas matrizes?
Vejamos o procedimento para realizar a multiplicação de duas matrizes com um exemplo:

Para calcular uma multiplicação de matrizes, as linhas da matriz esquerda devem ser multiplicadas pelas colunas da matriz direita.
Então, primeiro precisamos multiplicar a primeira linha pela primeira coluna. Para fazer isso, multiplicamos cada elemento da primeira linha por cada elemento da primeira coluna, um por um, e somamos os resultados. Então tudo isso será o primeiro elemento da primeira linha do array resultante. Veja o procedimento:
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1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 3 + 8 = 11. Então:
Agora precisamos multiplicar a primeira linha pela segunda coluna . Repetimos, portanto, o procedimento: multiplicamos cada elemento da primeira linha um por um por cada elemento da segunda coluna e somamos os resultados. E tudo isso será o segundo elemento da primeira linha do array resultante:
1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 1 = 5 + 2 = 7. Então:
Depois de preencher a primeira linha da matriz resultante, passamos para a segunda linha. Multiplicamos, portanto , a segunda linha pela primeira coluna , repetindo o procedimento: multiplicamos um por um cada elemento da segunda linha por cada elemento da primeira coluna e somamos os resultados:
-3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 4 = -9 + 0 = -9. Ainda:
Finalmente, multiplicamos a segunda linha pela segunda coluna . Sempre com o mesmo procedimento: multiplicamos cada elemento da segunda linha um por um por cada elemento da segunda coluna e somamos os resultados:
-3 ⋅ 5 + 0 ⋅ 1 = -15 + 0 = -15. Ainda:
E aqui termina a multiplicação das duas matrizes. Como você viu, é necessário multiplicar as linhas pelas colunas, repetindo sempre o mesmo procedimento: multiplicar cada elemento da linha por cada elemento da coluna um por um, e somar os resultados.
Exercícios resolvidos de multiplicação de matrizes
Exercício 1
Resolva o seguinte produto matricial:
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É um produto de matrizes de ordem 2:
Para resolver um produto matricial, você deve multiplicar as linhas da matriz esquerda pelas colunas da matriz direita.
Então primeiro multiplicamos a primeira linha pela primeira coluna. Para fazer isso, multiplicamos cada elemento da primeira linha por cada elemento da primeira coluna, um por um, e somamos os resultados. E tudo isso será o primeiro elemento da primeira linha do array resultante:
Agora vamos multiplicar a primeira linha pela segunda coluna, para obter o segundo elemento da primeira linha da matriz resultante:
Vamos para a segunda linha, então multiplicamos a segunda linha pela primeira coluna:
Por fim, multiplicamos a segunda linha pela segunda coluna , para calcular o último elemento da tabela:
Portanto, o resultado da multiplicação de matrizes é:
Exercício 2
Encontre o resultado da seguinte multiplicação de matriz quadrada 2×2:
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É um produto de matrizes de dimensão 2×2.
Para resolver a multiplicação, você deve multiplicar as linhas da matriz esquerda pelas colunas da matriz direita:
Exercício 3
Calcule a seguinte multiplicação de matrizes 3×3:
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Para realizar a multiplicação de matrizes 3×3, você deve multiplicar as linhas da matriz esquerda pelas colunas da matriz direita:
Exercício 4
dada a matriz
:
Calcular:
Vamos primeiro calcular a matriz transposta de
para fazer a multiplicação. E para fazer a matriz de transposição, precisamos transformar as linhas em colunas. Ou seja, a primeira linha da matriz torna-se a primeira coluna da matriz e a segunda linha da matriz torna-se a segunda coluna da matriz. Ainda:
A operação matricial, portanto, permanece:
Agora podemos fazer os cálculos. Primeiro calculamos
(embora também possamos primeiro calcular
):
E, finalmente, resolvemos o produto das matrizes:
Exercício 5
Considere as seguintes matrizes:
Calcular:
É uma operação que combina subtração com multiplicações de matrizes de ordem 2:
Primeiro calculamos a multiplicação à esquerda:
Agora resolvemos a multiplicação à direita:
E finalmente subtraímos as matrizes:
Quando você não pode multiplicar duas matrizes?
Nem todas as matrizes podem ser multiplicadas. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve corresponder ao número de linhas da segunda matriz.
Por exemplo, a seguinte multiplicação não pode ser realizada porque a primeira matriz possui 3 colunas e a segunda matriz possui 2 linhas:
Mas se invertermos a ordem, eles podem ser multiplicados. Porque a primeira matriz possui duas colunas e a segunda matriz possui duas linhas:
Propriedades de multiplicação de matrizes
Este tipo de operação matricial possui as seguintes características:
- A multiplicação de matrizes é associativa:
- A multiplicação de matrizes também tem a propriedade distributiva:
- O produto de matrizes não é comutativo:
Por exemplo, a seguinte multiplicação de matrizes dá um resultado:
Mas o resultado do produto é diferente se invertermos a ordem de multiplicação das matrizes:
- Além disso, qualquer matriz multiplicada pela matriz identidade resulta na mesma matriz. Isso é chamado de propriedade de identidade multiplicativa:
Por exemplo:
- Finalmente, como você já deve imaginar, qualquer matriz multiplicada pela matriz zero é igual à matriz zero. Isso é chamado de propriedade multiplicativa de zero:
Por exemplo: