Como calcular o módulo de um vetor

Nesta página você verá a explicação da magnitude de um vetor e como calculá-lo com sua fórmula. Você também poderá ver como encontrar o módulo a partir de dois pontos: sua origem e seu fim. Além disso, você descobrirá como determinar os componentes de um vetor a partir de seu módulo e das propriedades do módulo de um vetor. Você pode até praticar com exemplos, exercícios e problemas passo a passo.

Qual é o módulo de um vetor?

A magnitude de um vetor representa a distância entre sua origem e seu fim. Portanto, a magnitude de um vetor é igual ao comprimento desse vetor.

Como você pode ver na representação gráfica acima, a magnitude de um vetor é simbolizada por uma barra vertical em cada lado do vetor:

$\lvert \vv{AB}\rvert$

Por outro lado, o módulo de um vetor é igual à norma de um vetor , então você também pode vê-lo escrito dessa forma. É por isso que existem matemáticos que também representam o módulo de um vetor com duas barras verticais de cada lado:

$\lvert \lvert \vv{AB}\rvert\rvert$

Fórmula para o módulo de um vetor

Para encontrar a magnitude de um vetor no plano, devemos aplicar a seguinte fórmula:

Para determinar a magnitude de um vetor, devemos calcular a raiz quadrada (positiva) da soma dos quadrados de seus componentes. Em outras palavras, se tivermos o seguinte vetor:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)$

Seu módulo é:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

Por exemplo, calcularemos a magnitude do seguinte vetor usando a fórmula:

$\vv{\text{u}} = (4,3)$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9}=\sqrt{25} = \bm{5}$

Calcule a magnitude de um vetor com as coordenadas de sua origem e fim

Acabamos de ver como a magnitude de um vetor é determinada quando conhecemos suas componentes, mas o que aconteceria se soubéssemos apenas os pontos onde ele começa e onde termina?

Assim, para calcular a magnitude de um vetor a partir das coordenadas de sua origem e de seu final, você deve seguir estes dois passos:

Primeiro encontramos os componentes do vetor. Para fazer isso, precisamos subtrair o extremo menos a origem.
E a seguir calculamos o módulo do vetor obtido com a fórmula que vimos na seção anterior.

Vamos ver como isso é feito através de um exemplo:

Calcule a magnitude do vetor cuja origem é o ponto
$A(2,1)$

e como ponto final

$B(-1,4).$

Primeiro precisamos encontrar as componentes do vetor, então subtraímos seu ponto final menos sua origem:

$\vv{AB}=B-A=(-1,4)-(2,1)=(-3,3)$

Uma vez conhecido o vetor, calculamos sua magnitude usando a fórmula de magnitude vetorial:

$\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}$

E deixamos o resultado como raiz quadrada, porque não é exato.

Como calcular as componentes de um vetor a partir do seu módulo

Vimos como extrair a norma de um vetor a partir das suas componentes, mas o processo também pode ser invertido. Em outras palavras, podemos calcular as componentes de um vetor através do seu módulo.

O processo de encontrar os componentes de um vetor a partir de sua magnitude é chamado de decomposição vetorial . Então, para decompor um vetor, precisamos do seu módulo, obviamente, e do ângulo que ele forma com o eixo das abcissas (eixo X).

Para que os componentes X e Y do vetor possam ser calculados com as razões trigonométricas:

Como você pode ver na imagem, a magnitude de um vetor forma um triângulo retângulo com seus componentes, portanto as fórmulas elementares da trigonometria podem ser aplicadas.

Deve-se levar em conta que, diferentemente do módulo de um vetor, suas componentes podem ser negativas porque o seno e o cosseno podem assumir valores negativos.

Como exemplo, resolveremos a decomposição vetorial do vetor cuja magnitude e ângulo com o eixo OX são:

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert = 10 \qquad \alpha = 60º$

A componente horizontal do vetor é igual ao módulo multiplicado pelo cosseno do ângulo:

$\text{u}_x= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{cos}(60º)= 10 \cdot 0,5 = 5$

E a componente vertical do vetor é igual a multiplicar o módulo pelo seno do ângulo:

$\text{u}_y= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{sen}(60º)= 10 \cdot 0,87 = 8,7$

Então o vetor é o seguinte:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5 \ ,\ 8,7)}$

Propriedades de módulo de um vetor

Módulo é um tipo de operação vetorial que possui as seguintes características:

A magnitude de um vetor nunca pode ser negativa , será sempre igual ou maior que 0.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert \geq 0$

Na verdade, o único vetor que existe com magnitude zero é o vetor zero, ou seja, o vetor

$\vv{\text{u}}= (0,0) .$

A magnitude do produto de um vetor por um número real (ou escalar) é equivalente a multiplicar o valor absoluto do escalar pela magnitude do vetor. Portanto, vale a seguinte igualdade:

$\lvert k \cdot \vv{\text{u}} \rvert = \lvert k \rvert \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert$

A desigualdade triangular é verificada: o módulo da soma de dois vetores é menor ou igual à soma de seus módulos separadamente.

$\lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert \leq \lvert\vv{\text{u}} \rvert+\lvert\vv{\text{v}} \rvert$

Além disso, a magnitude da soma de dois vetores está relacionada ao produto escalar pela seguinte equação:

$\lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2+\lvert \vv{\text{v}} \rvert ^2 +2\cdot \vv{\text{u}}\cdot \vv{\text{v}} \vphantom{\sqrt{x^2}}}$

vetor unitário

Em matemática, um vetor unitário é um vetor cujo módulo é igual a um.

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert=1$

Portanto, o comprimento de um vetor unitário é uma unidade.

Pode parecer muito difícil para um vetor ter um módulo exatamente 1, mas na verdade é fácil encontrar este tipo de vetor:

Para encontrar o vetor unitário de qualquer vetor, basta dividi-lo pelo seu módulo:

$\vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Ouro

$\vv{\text{v}}_u$

é o vetor unitário de

$\vv{\text{v}},$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

seu módulo.

O vetor unitário também é chamado de versor ou vetor normalizado.

Além disso, o vetor unitário tem a mesma direção e sentido do vetor original.

Por exemplo, calcularemos o vetor unitário do seguinte vetor:

$\vv{\text{v}}=(1,-1)$

Para normalizar o vetor, primeiro precisamos calcular sua magnitude:

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert=\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$

E, por fim, calculamos o vetor unitário dividindo o vetor original pelo seu módulo:

$\displaystyle \vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}= \bm{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}$

Exercícios de módulo vetorial resolvidos

Exercício 1

Calcule a magnitude do seguinte vetor:

$\vv{a}=(6,8)$

veja solução

Para calcular o módulo do vetor devemos aplicar sua fórmula:

$\lvert\vv{a} \rvert= \sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \bm{10}$

Exercício 2

Ordene os seguintes vetores do mais curto para o mais longo.

$\vv{a}=(4,-2)$

$\vv{b}=(3,1)$

$\vv{c}=(5,12)$

$\vv{d}=(-6,-3)$

veja solução

O comprimento de um vetor é igual à sua magnitude. Portanto, precisamos calcular os módulos de todos os vetores:

$\left|\vv{a}\right|= \sqrt{4^2+(-2)^2} =\sqrt{16+4} = \sqrt{20}$

$|\vv{b}|= \sqrt{3^2+1^2} =\sqrt{9+1} = \sqrt{10}$

$\begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}= \sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$

$|\vv{d}| = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2} =\sqrt{36+9} = \sqrt{45}$

Assim, os vetores ordenados do menor para o maior comprimento (ou módulo) são:

$|\vv{b}|< \begin{vmatrix}\vv{a}\end{vmatrix} < |\vv{d}| < \begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}$

Exercício 3

Determine a magnitude do vetor cuja origem é o ponto

$A(-3,2)$

e como ponto final

$B(7,-4).$

veja solução

Para calcular seu módulo, primeiro você deve encontrar o vetor. Para fazer isso, subtraímos o extremo menos a origem:

$\vv{AB}=B-A=(7,-4)-(-3,2)=(10,-6)$

Uma vez conhecido o vetor, seu módulo é calculado usando a fórmula do módulo:

$\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{10^2+(-6)^2} = \sqrt{100+36}=\bm{\sqrt{136}}$

Exercício 4

Decomponha o seguinte vetor e encontre seus componentes:

$\lvert \vv{a} \rvert =8 \qquad \alpha = 45º$

veja solução

A componente horizontal do vetor é igual ao módulo multiplicado pelo cosseno do ângulo:

$a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66$

E a componente vertical do vetor é igual a multiplicar o módulo pelo seno do ângulo:

$a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66$

Então o vetor é o seguinte:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5,66 \ ,\ 5,66)}$

Neste caso, as duas componentes são idênticas, ou seja, o ângulo de inclinação do vetor é de 45º.

Exercício 5

Calcule o vetor com a mesma direção e sentido do vetor a seguir, mas com módulo 1.

$\vv{a} = (-4,3)$

veja solução

O vetor com a mesma direção e mesmo sentido, mas com módulo 1, é o vetor unitário. Para calculá-lo, primeiro encontramos o módulo do vetor:

$\lvert \vv{a} \rvert=\sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

E agora calculamos o vetor unitário dividindo o vetor original pelo seu módulo:

$\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(-4,3)}{5}= \bm{\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5} \right)}$

Exercício 6

Decomponha vetorialmente o seguinte vetor e calcule seu vetor unitário:

$\lvert \vv{a} \rvert =6 \qquad \alpha = 20º$

veja solução

Primeiro, decompomos o vetor e encontramos suas coordenadas:

$a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(20º)= 6 \cdot 0,94 = 5,64$

$a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(20º)= 6 \cdot 0,34 = 2,05$

Então o vetor é o seguinte:

$\vv{a}= (5,64 \ ,\ 2,05)}$

E agora calculamos o vetor unitário dividindo o vetor obtido pelo seu módulo:

$\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(5,64 \ ,\ 2,05)}{6}= \bm{(0,94 \ , \ 0,34) }$

Observe que os componentes de um vetor unitário são iguais ao cosseno e ao seno do ângulo que ele forma com o eixo X.

Qual é o módulo de um vetor?

Fórmula para o módulo de um vetor

Calcule a magnitude de um vetor com as coordenadas de sua origem e fim

Como calcular as componentes de um vetor a partir do seu módulo

Propriedades de módulo de um vetor

vetor unitário

Exercícios de módulo vetorial resolvidos

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

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