Máximo e mínimo de uma função (extremos relativos)

Neste artigo você descobrirá como calcular o máximo e o mínimo de uma função, explicamos resolvendo dois exemplos passo a passo. Além disso, você poderá praticar exercícios passo a passo sobre os máximos e mínimos de uma função.

Quais são o máximo e o mínimo de uma função?

Os máximos de uma função são os maiores valores da função e os mínimos de uma função são os menores valores da função. Os máximos e mínimos de uma função são extremos relativos quando representam apenas os maiores ou menores valores em seu ambiente, mas são extremos absolutos quando representam os maiores ou menores valores de toda a função.

máximos e mínimos de uma função

Você também pode identificar extremos relativos estudando o crescimento e a diminuição da função :

  • Um ponto é um máximo relativo quando a função vai de crescente para decrescente.
  • Um ponto é um mínimo relativo quando a função passa de decrescente para crescente.

Como encontrar o máximo e o mínimo de uma função

A partir da primeira e da segunda derivada de uma função, podemos saber se uma função tem um extremo relativo em um ponto e se esse ponto é um máximo relativo ou um mínimo relativo:

  • Uma função tem um extremo em relação aos pontos que cancelam sua primeira derivada.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • E o sinal da segunda derivada da função determina se o ponto é máximo ou mínimo:
    • Se a segunda derivada for negativa, a função terá um máximo relativo nesse ponto.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • Se a segunda derivada for positiva, a função terá um mínimo relativo nesse ponto.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= Exemplo 1: Como calcular o máximo e o mínimo de uma função

      Depois de vermos as definições de máximo e mínimo de uma função, resolveremos um exemplo passo a passo para que você possa ver como são calculados o máximo e o mínimo de uma função.

      • Calcule os extremos relativos da seguinte função e determine se são máximos ou mínimos:

      f(x)=x^3-3x

      Os extremos relativos da função serão os pontos que satisfazem

      f'(x)=0

      . Portanto, primeiro calculamos a derivada da função:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      E agora igualamos a derivada da função a zero e resolvemos a equação quadrática resultante:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      Portanto, os extremos relativos da função são x=+1 e x=-1.

      Depois de conhecermos os extremos relativos da função, podemos saber se são máximo ou mínimo com o sinal da segunda derivada. Portanto, calculamos a segunda derivada da função:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      E agora avaliamos na segunda derivada os extremos relativos que encontramos antes, para saber se são máximo ou mínimo relativo:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      Mínimo relativo

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      Relativo máximo

      A segunda derivada em x=1 é positiva, então x=1 é um mínimo relativo . Por outro lado, a segunda derivada em x=-1 é negativa, então x=-1 é um máximo relativo .

      Finalmente, substituímos os pontos encontrados na função original para encontrar a coordenada Y dos extremos relativos:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      Em conclusão, os extremos relativos da função são:

      Mínimo para apontar

      \bm{(1,-2)}

      Máximo no ponto

      \bm{(-1,2)}

      Exemplo 2: Estudando a monotonicidade e os máximos e mínimos de uma função

      Agora vamos ver como se resolve outro tipo de exercício. Neste caso explicaremos como encontrar o máximo e o mínimo da monotonicidade de uma função.

      • Estude a monotonicidade e calcule os extremos relativos da seguinte função:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      A primeira coisa a fazer é calcular o domínio de definição da função. Sendo uma função racional, precisamos igualar o denominador a 0 para ver quais números não pertencem ao domínio da função:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      Uma vez calculado o domínio de definição da função, precisamos estudar quais pontos cancelam a primeira derivada. Portanto, derivamos a função:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      E agora definimos a derivada igual a 0 e resolvemos a equação:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      O termo

      \left(x-1\right)^2}

      Isso envolve dividir todo o lado esquerdo, para que possamos multiplicá-lo por todo o lado direito:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      Extraímos o fator comum para resolver a equação quadrática:

      x(x-2)=0

      Para que a multiplicação seja igual a 0, um dos dois elementos da multiplicação deve ser zero. Portanto, definimos cada fator igual a 0 e obtemos as duas soluções da equação:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      Depois de calcularmos o domínio da função e

      f'(x)=0

      , representamos todos os pontos críticos encontrados na linha:

      E avaliamos o sinal da derivada em cada intervalo, para saber se a função aumenta ou diminui. Para fazer isso, pegamos um ponto em cada intervalo (nunca os pontos críticos) e observamos qual sinal a derivada tem naquele ponto:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      Se a derivada for positiva, significa que a função está aumentando, mas se a derivada for negativa, significa que a função está diminuindo. Portanto, os intervalos de crescimento e declínio são:

      Crescimento:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      Diminuir:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      Além disso, em x=0 a função vai de crescente para decrescente, então x=0 é um máximo relativo da função . E em x=2, a função vai de decrescente para crescente, então x=2 é um mínimo relativo da função.

      E por fim, substituímos os pontos encontrados na função original para encontrar a coordenada Y das extremidades:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      Resumindo, os extremos relativos da função são:

      Máximo no ponto

      \bm{(0,0)}

      Mínimo para apontar

      \bm{(2,4)}

      Exercícios resolvidos sobre máximos e mínimos de uma função

      Exercício 1

      Calcule os extremos relativos da seguinte função polinomial e determine se eles são máximos ou mínimos:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      Os extremos relativos da função serão os pontos em que a primeira derivada da função é igual a zero. Portanto, calculamos a derivada da função:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      E agora resolvemos a equação

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      Temos uma equação quadrática, então aplicamos a fórmula geral para resolvê-la:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      Portanto, os extremos relativos da função são os pontos x=3 e x=-1.

      Depois de conhecermos os extremos relativos da função, podemos saber se são máximo ou mínimo com o sinal da segunda derivada. Portanto, diferenciamos a função novamente:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      E agora avaliamos os pontos que calculamos antes na segunda derivada:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      A segunda derivada em x=3 é positiva, então x=3 é um mínimo . E a segunda derivada em x=-1 é negativa, então x=-1 é máximo .

      E por fim, substituímos os pontos encontrados na função original para encontrar a coordenada Y das extremidades:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      Resumindo, os extremos relativos da função são:

      Mínimo relativo ao ponto

      \bm{(3,-27)}

      Máximo em relação ao ponto

      \bm{(-1,5)}

      Exercício 2

      Calcule os extremos relativos da seguinte função exponencial e determine se eles são máximos ou mínimos:

      f(x)=e^x(x-1)

      Primeiro, precisamos diferenciar a função. Para fazer isso, aplicamos a fórmula da derivada de um produto:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      E agora resolvemos a equação

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      Um número elevado a outro nunca pode resultar em 0. Portanto,

      e^x=0

      não tem solução e o único extremo relativo é

      x=0

      .

      Agora calculamos a segunda derivada da função para saber se o extremo relativo é máximo ou mínimo:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      E agora avaliamos na segunda derivada o extremo que encontramos antes, para ver se é máximo ou mínimo:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      Como a segunda derivada em x=0 é positiva, x=0 é um mínimo relativo ou local .

      Finalmente, substituímos o ponto encontrado na função original para encontrar a outra coordenada final:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      O único extremo relativo da função é, portanto:

      Mínimo para apontar

      \bm{(0,-1)}

      Exercício 3

      Estude a monotonicidade e encontre os extremos relativos da seguinte função racional:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      Primeiro, determinamos o domínio da função. Para fazer isso, igualamos o denominador da fração a zero e resolvemos a equação quadrática resultante:

      x^2+1 = 0

      A expressão

      x^2+1

      Nunca será 0, pois o resultado de x 2 será sempre um número positivo ou 0. Portanto, somar 1 nunca dará 0. O domínio da função é, portanto, composto apenas por números reais:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      A seguir, estudamos quais pontos se encontram

      f'(x)=0.

      Diferenciamos a função usando a regra do quociente:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      Definimos a derivada igual a 0 e resolvemos a equação:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      Temos uma equação quadrática, então usamos a fórmula geral para resolvê-la:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      Depois de calcularmos o domínio da função e

      f'(x)=0

      , representamos todos os pontos singulares encontrados na reta numérica:

      E agora avaliamos o sinal da derivada em cada intervalo, para descobrir se a função é crescente ou decrescente. Portanto, pegamos um ponto em cada intervalo (nunca os pontos singulares) e observamos qual sinal a derivada tem neste ponto:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      Se a derivada for positiva, significa que a função está aumentando nesse intervalo, mas se a derivada for negativa, significa que a função está diminuindo. Portanto, os intervalos de crescimento e declínio são:

      Crescimento:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      Diminuir:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      A função muda de decrescente para crescente em x=-0,41, então x=-0,41 é um mínimo local da função. E a função vai de crescente para decrescente em x=2,41, então x=2,41 é um máximo local da função.

      Finalmente, substituímos os extremos encontrados na função original para encontrar as coordenadas Y dos pontos:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      Os extremos relativos da função são, portanto:

      Mínimo para apontar

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      Máximo no ponto

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      Exercício 4

      Sabemos que a função

      f(x)=x^2+ax+b

      passar pelo ponto

      (1,-2)

      e tem um extremo relativo em

      x= -1 .

      Determine o valor das incógnitas

      a

      e o valor de

      b .

      Deixe a função ter um extremo relativo em

      x= -1

      isso significa que foi realizado

      f'(-1)=0.

      Portanto, calculamos a derivada da função em

      x= -1

      e definimos como igual a 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      E resolvemos a equação obtida para encontrar o valor do parâmetro a:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      A função será portanto:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      Por outro lado, dizem-nos que a função passa pelo ponto

      (1,-2) .

      Isso é para dizer,

      f(1)=-2 .

      Portanto, podemos aplicar esta condição para encontrar o valor da variável b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      E resolvemos a equação obtida para encontrar o valor do parâmetro b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      A função é portanto:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

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