Matriz regular

Nesta página você verá o que é uma matriz normal, bem como exemplos de matrizes normais. Além disso, você encontrará as propriedades deste tipo de matrizes e exercícios resolvidos passo a passo.

O que é uma matriz normal?

A definição normal da matriz é:

Uma matriz normal é uma matriz complexa que multiplicada por sua matriz transposta conjugada é igual ao produto da transposta conjugada por ela mesma.

A\cdot A^*=A^*\cdot A

Ouro

A^*

é a matriz transposta conjugada de

A

.

Porém, se forem matrizes de números reais , a condição anterior equivale a dizer que uma matriz comuta com a sua transposta, ou seja:

A\cdot A^t=A^t\cdot A

Porque, obviamente, a matriz transposta conjugada de uma matriz real é simplesmente a matriz transposta (ou transposta).

Exemplos de matrizes normais

Exemplo com números complexos

A seguinte matriz quadrada complexa de dimensão 2×2 é normal:

exemplo de matriz normal com números complexos de dimensão 2x2

A demonstração de sua normalidade está anexada abaixo:

\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix} i & i \\[1.1ex] i & -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -i & -i \\[1.1ex] -i & i \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}

\displaystyle A^*\cdot A = \begin{pmatrix} -i & -i \\[1.1ex] -i & i \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i & i \\[1.1ex] i & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}

Exemplo com números reais

A seguinte matriz quadrada com números reais de ordem 2 também é normal:

exemplo de matriz normal com números reais de dimensão 2x2

Neste caso, por só possuir números reais, para provar que é normal basta verificar que a matriz é comutável com a sua transposta:

\displaystyle B\cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 \end{pmatrix}

\displaystyle B^t\cdot B =\begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 \end{pmatrix}

Propriedades de matrizes normais

Matrizes normais têm as seguintes características:

  • Todas as matrizes normais são matrizes diagonalizáveis.
  • Da mesma forma, uma matriz anti-hermitiana é uma matriz normal.
  • Se A é uma matriz normal, os autovalores (ou autovalores) da matriz transposta conjugada A* são os autovalores conjugados de A.

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2i&-1+i\\[1.1ex] 1+i&i\end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda_{A,1} = 0 \ ; \ \lambda_{A,2} = +3i

\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}-2i&1-i\\[1.1ex] -1-i&-i\end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda_{A^*,1} = 0 \ ; \ \lambda_{A^*,2} = -3i

  • Nas matrizes normais, os autovetores (ou autovetores) associados aos diferentes autovalores são ortogonais.
  • Se uma matriz é composta apenas por números reais e é simétrica , é ao mesmo tempo uma matriz normal.
  • Finalmente, qualquer matriz ortogonal formada por números reais também é uma matriz normal.

Exercícios resolvidos para matrizes normais

Exercício 1

Verifique se a seguinte matriz complexa de dimensão 2 × 2 é normal:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix}

Para mostrar que a matriz é normal devemos primeiro calcular sua transposta conjugada:

\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix}

E agora fazemos a verificação multiplicando a matriz A pela matriz A* nas duas direções possíveis:

\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&4\\[1.1ex] 4&14\end{pmatrix}

\displaystyle A^*\cdot A =\begin{pmatrix}1&2-3i\\[1.1ex] 2-3i&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2+3i\\[1.1ex] 2+3i&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14&4\\[1.1ex] 4&14\end{pmatrix}

O resultado de ambas as multiplicações é o mesmo, então a matriz A é normal.

Exercício 2

Mostre que a seguinte matriz real de tamanho 2 × 2 é normal:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix}

Como neste caso se trata de um ambiente apenas com números reais, basta verificar que o produto matricial entre a matriz A e sua transposta dá o mesmo resultado qualquer que seja o sentido da multiplicação:

\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&-5\\[1.1ex] 5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34&0\\[1.1ex] 0&34\end{pmatrix}

\displaystyle A^t\cdot A = \begin{pmatrix}3&-5\\[1.1ex] 5&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&5\\[1.1ex] -5&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}34&0\\[1.1ex] 0&34\end{pmatrix}

O resultado de ambos os produtos é o mesmo, então a matriz A é normal.

Exercício 3

Determine se a seguinte matriz de números complexos de ordem 2 é normal:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix}

Para verificar se a matriz é normal, devemos primeiro calcular sua transposta conjugada:

\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix}

E agora verificamos se a matriz A e sua transposta conjugada são comutáveis:

\displaystyle A\cdot A^* = \begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18&8i\\[1.1ex] -8i&18\end{pmatrix}

\displaystyle A^*\cdot A =\begin{pmatrix}-4i&1+i\\[1.1ex] -1-i&-4i\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4i&-1+i\\[1.1ex] 1-i&4i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18&8i\\[1.1ex] -8i&18\end{pmatrix}

O resultado de ambas as multiplicações é o mesmo, então a matriz A é normal.

Exercício 4

Verifique se a seguinte matriz real de dimensão 3×3 é normal:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix}

Sendo a matriz inteiramente composta por elementos reais, basta verificar que o produto matricial entre a matriz A e sua transposta é independente do sentido da multiplicação:

\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-1&0&1\\[1.1ex] 1&-1&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\[1.1ex] -1&2&-1\\[1.1ex] -1&-1&2\end{pmatrix}

\displaystyle A^t\cdot A =\begin{pmatrix}-1&0&1\\[1.1ex] 1&-1&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1&1&0\\[1.1ex] 0&-1&1\\[1.1ex] 1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\[1.1ex] -1&2&-1\\[1.1ex] -1&-1&2\end{pmatrix}

O resultado de ambos os produtos é o mesmo, então a matriz A é normal.

Exercício 5

Determine se a seguinte matriz complexa de ordem 3×3 é normal:

\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&3-2i & 5i \\[1.1ex] 3+2i & 0 & -1-3i \\[1.1ex] -5i & -1+3i & 1\end{pmatrix}

Primeiro, calculamos a transposta conjugada da matriz:

\displaystyle A^*=\begin{pmatrix}4&3-2i & 5i \\[1.1ex] 3+2i & 0 & -1-3i \\[1.1ex] -5i & -1+3i & 1\end{pmatrix}

Agora precisamos fazer as multiplicações de matrizes entre a matriz A e sua transposta conjugada em ambas as direções possíveis. No entanto, a matriz transposta conjugada de A é igual à própria matriz A, portanto é uma matriz Hermitiana. E, portanto, das propriedades das matrizes normais segue-se que A é uma matriz normal , porque toda matriz hermitiana é uma matriz normal.

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