Como calcular a matriz inversa -

Nesta página você aprenderá o que é e como calcular a inversa de uma matriz pelo método dos determinantes (ou matriz adjunta) e pelo método de Gauss. Você também verá todas as propriedades da matriz inversa e também encontrará exemplos e exercícios resolvidos passo a passo para cada método, para que você os compreenda completamente. Por fim, explicamos uma fórmula para inverter rapidamente uma matriz 2×2 e ainda a maior utilidade desta operação matricial: resolver um sistema de equações lineares.

Qual é o inverso de uma matriz?

Ser

$A$

uma matriz quadrada. A matriz inversa de

$A$

Esta escrevendo

$A^{-1}$

, e é esta matriz que satisfaz:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Ouro

$I$

é a matriz de identidade.

Quando você pode inverter uma matriz e quando não?

A maneira mais simples de determinar a invertibilidade de uma matriz é usar seu determinante:

Se o determinante da matriz em questão for diferente de 0, isso significa que a matriz é invertível. Neste caso dizemos que é uma matriz regular. Além disso, isso implica que a matriz tem classificação máxima.

Por outro lado, se o determinante da matriz for igual a 0, a matriz não pode ser invertida. E, neste caso, dizemos que se trata de uma matriz singular ou degenerada.

Principalmente, existem dois métodos para inverter qualquer matriz: o método dos determinantes ou matriz adjunta e o método de Gauss. Abaixo você tem a explicação do primeiro, mas também pode consultar abaixo como inverter uma matriz com o método Gauss.

Inverta uma matriz usando o método do determinante (ou usando a matriz adjacente)

Para calcular o inverso de uma matriz ,

$\displaystyle A^{-1}$

, a seguinte fórmula deve ser aplicada:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Ouro:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

é o determinante da matriz

$A$
$\text{Adj}(A)$

é a matriz adjunta de

$A$
O expositor
$\bm{t}$

indica transposição de matriz, ou seja, a matriz anexada deve ser transposta.

Comentário: Alguns livros usam uma fórmula de matriz inversa ligeiramente diferente: eles primeiro transpõem a matriz A e depois calculam sua matriz adjunta, em vez de primeiro calcular a matriz adjunta e depois transpô-la. Na realidade, a ordem não importa porque o resultado é exatamente o mesmo. Deixamos aqui a fórmula para inverter uma matriz modificada caso você prefira usar esta:

fórmula para a matriz inversa com a matriz adjunta da transposta

Veremos então como encontrar o inverso de uma matriz resolvendo um exercício como exemplo:

Exemplo de cálculo da matriz inversa usando o método determinante (ou matriz adjunta):

Calcule o inverso da seguinte matriz:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Para determinar o inverso da matriz, devemos aplicar a seguinte fórmula:

Mas se o determinante da matriz for zero isso significa que a matriz não é invertível. Portanto, a primeira coisa a fazer é calcular o determinante da matriz e verificar se ele é diferente de 0:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

O determinante não é 0 , então a matriz é invertível .

Portanto, substituindo o valor do determinante na fórmula, o inverso da matriz será:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Devemos agora calcular a matriz suplente de A. Para fazer isso, devemos substituir cada elemento da matriz A pelo seu substituto.

Lembre-se que para calcular o anexo de

$a_{ij}$

, isto é, do elemento linha

$i$

e a coluna

$j$

, a seguinte fórmula deve ser aplicada:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Onde o complementar menor de

$a_{ij}$

é o determinante da matriz eliminando a linha

$i$

e a coluna

$j$

Assim, os deputados dos elementos da matriz A são:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Comentário: Não confunda o determinante 1×1 com o valor absoluto, pois no determinante 1×1 o número não é convertido em positivo.

Uma vez calculados os deputados, basta substituir os elementos de A pelos seus deputados para encontrar a matriz de deputados de A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Comentário: em certos locais a matriz adjunta é a transposta da matriz adjunta que definimos aqui.

Portanto, substituímos a matriz anexa na fórmula da matriz inversa e ela se torna:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

O expositor

$\bm{t}$

Isso nos diz que precisamos transpor a matriz . E para transpor uma matriz é preciso transformar suas linhas em colunas , ou seja, a primeira linha da matriz passa a ser a primeira coluna da matriz, e a segunda linha passa a ser a segunda coluna:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

E finalmente, multiplicamos cada termo da matriz por

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

exercício resolvido matriz inversa por determinantes 2x2

Exercícios resolvidos sobre matrizes inversas com o método dos determinantes (ou a matriz adjacente)

Exercício 1

Inverta a seguinte matriz de dimensão 2×2 usando o método da matriz adjunta:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Veja a solução

A fórmula da matriz inversa é:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Primeiro calculamos o determinante da matriz:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

O determinante é diferente de 0, então a matriz pode ser invertida.

Vamos agora calcular a matriz adjunta de A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Uma vez calculado o determinante da matriz e seu adjunto, substituímos seus valores na fórmula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Transpomos a matriz anexa:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

A matriz inversa de A é portanto:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Exercício 2

Inverta a seguinte matriz quadrada usando o método do determinante:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Veja a solução

A fórmula da matriz inversa é:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Primeiro calculamos o determinante da matriz:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

O determinante é diferente de 0, então a matriz pode ser invertida.

Vamos agora calcular a matriz adjunta de A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Uma vez encontrado o determinante da matriz e seu adjunto, substituímos seus valores na fórmula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Transpomos a matriz anexa:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Multiplicamos cada elemento por

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

A matriz inversa de A é portanto:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Exercício 3

Inverta a seguinte matriz de dimensão 3×3 usando o método da matriz adjunta:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Veja a solução

A fórmula da matriz inversa é:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Primeiro resolvemos o determinante da matriz com a regra de Sarrus:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

O determinante é diferente de 0, então a matriz pode ser invertida.

Uma vez resolvido o determinante, encontramos a matriz adjunta de A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Depois de calcularmos o determinante da matriz e seu adjunto, substituímos seus valores na fórmula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Transpomos a matriz anexa:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

E a matriz invertida A é:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Exercício 4

Inverta a seguinte matriz de ordem 3 usando o método da matriz adjunta:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Veja a solução

A fórmula da matriz inversa é:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Precisamos primeiro calcular o determinante da matriz, porque se o determinante for 0, significa que a matriz não tem inversa.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

O determinante de A é 0, então a matriz não pode ser invertida.

Exercício 5

Inverta a seguinte matriz quadrada 3 × 3 pelo método da matriz determinante:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Veja a solução

A fórmula da matriz inversa é:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Primeiramente resolvemos o determinante da matriz com a regra de Sarrus:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

O determinante é diferente de 0, então a matriz pode ser invertida.

Uma vez resolvido o determinante, encontramos a matriz adjunta de A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Depois de calcularmos o determinante da matriz e seu adjunto, substituímos seus valores na fórmula:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Transpomos a matriz anexa:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

E por fim, operamos:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

exercício resolvido passo a passo da matriz inversa pelo método da matriz adjunta 3x3

Inverta uma matriz usando o método Gauss:

Para calcular o inverso de uma matriz com o método de Gauss , você deve realizar operações nas linhas de uma matriz (veremos isso mais tarde). Portanto, antes de ver como utilizar o método de Gauss, é importante que você conheça todas as operações que podem ser feitas nas linhas das matrizes:

Transformações de linha permitidas no método gaussiano

Altere a ordem das linhas da matriz.

Por exemplo, podemos alterar a ordem das linhas 2 e 3 de uma matriz:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Multiplique ou divida todos os termos consecutivos por um número diferente de 0.

Por exemplo, podemos multiplicar a linha 1 por 4 e dividir a linha 3 por 2:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Substitua uma linha pela soma da mesma linha mais outra linha multiplicada por um número.

Por exemplo, na matriz a seguir, adicionamos a linha 3 multiplicada por 1 à linha 2:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Exemplo de cálculo da matriz inversa usando o método Gauss:

Vejamos com um exemplo como aplicar o método Gauss para inverter uma matriz:

Calcule o inverso da seguinte matriz:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

A primeira coisa que precisamos fazer é combinar a matriz A e a matriz Identidade em uma única matriz . A matriz A à esquerda e a matriz Identidade à direita:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

exercício resolvido passo a passo da matriz inversa pelo método Gauss 3x3

Para calcular a matriz inversa, precisamos converter a matriz esquerda em uma matriz identidade. E, para fazer isso, precisamos aplicar transformações nas linhas até chegarmos lá.

Procederemos por colunas, ou seja, realizaremos operações nas linhas para transformar primeiro os números da primeira coluna, depois os da segunda coluna e por último os da terceira coluna.

Os 1s e 0s da primeira coluna já são adequados, pois a matriz identidade também possui 1 e 0 nessas posições. Portanto, não há necessidade de aplicar uma transformação a essas linhas neste momento.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

No entanto, a matriz identidade tem um 0 no último elemento da primeira coluna, onde agora temos um 1. Portanto, precisamos converter 1 em 0. Para fazer isso, adicionamos a linha 1 multiplicada por – à linha 3.1:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Então se fizermos essa soma teremos a seguinte matriz:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Conseguimos assim transformar 1 em 0.

Agora vamos passar para a segunda coluna da matriz esquerda. O primeiro elemento é 0, o que é bom porque a matriz identidade possui um 0 na mesma posição. No entanto, em vez de 2 deveria haver 1, então dividimos a segunda linha por 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Além disso, na segunda coluna também precisamos transformar o 5 em 0. Bem, como o 5 é cinco vezes maior que o 1 na segunda linha, adicionaremos a linha 2 multiplicada por -5 à linha 3:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Portanto, ao realizar esta operação, obtemos a matriz com 0 no último elemento da segunda coluna:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Por fim, transformaremos a última coluna da matriz para a esquerda, mas desta vez devemos começar de baixo. É necessário, portanto, transformar o

$\sfrac{1}{2}$

em 1. Portanto, multiplicamos a última linha por 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Devemos agora transformar o

$\sfrac{1}{2}$

restante da última coluna como 0. Porém, desta vez não podemos multiplicar a linha por 2, porque também converteríamos 1 em 2 (quando a matriz identidade tiver 1 nessa posição). Portanto, adicionaremos a linha 3 dividida por -2 à linha 2:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Então fazendo esta operação conseguimos transformar o

$\sfrac{1}{2}$

em um 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Por fim, só precisamos transformar o 1 da primeira linha da terceira coluna em 0. A terceira linha também possui um 1 nesta mesma coluna, então adicionaremos a linha 3 multiplicada por -1 à linha 1:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

E fazendo esta operação conseguimos converter o 1 em 0:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Depois de convertermos com sucesso a matriz esquerda em uma matriz identidade, também conhecemos a matriz inversa. Porque a matriz inversa é a matriz que obtemos no lado direito convertendo a matriz esquerda em matriz identidade . O inverso da matriz é portanto: