Indeterminação infinita menos infinita (∞-∞)

Neste artigo explicamos como resolver a indeterminação infinita menos infinita (∞-∞). Você encontrará exemplos dessa indeterminação com diversos tipos de funções e, além disso, poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo de indeterminação infinita menos infinita.

Resolvendo indeterminação infinita menos infinita

Quando o limite de uma função dá infinito menos infinito, significa que é uma indeterminação (ou uma forma indeterminada). Ou seja , o limite de uma função que dá indeterminação menos infinito não pode ser determinado realizando o cálculo direto, mas sim um procedimento preliminar deve ser realizado.

Portanto, para resolver a indeterminação infinita menos infinita, devemos primeiro aplicar um procedimento que depende do tipo de função: se for uma função polinomial, pode ser calculada por comparação, se for uma função racional, as frações devem ser reduzidas a um denominador comum e, se for uma função irracional, deve ser multiplicado pelo conjugado.

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr)=\infty-\infty

A seguir veremos com exemplos como a indeterminação infinito menos infinito é resolvida em cada tipo de função.

Indeterminação infinita menos infinita em funções polinomiais

Em um polinômio, a indeterminação infinito menos infinito é igual ao infinito de maior ordem, ou seja, o termo de maior ordem determina o sinal positivo ou negativo do infinito.

Por exemplo, observe o limite da seguinte função polinomial que fornece a forma indeterminada infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^2-3x\bigr)=(+\infty)^2-3\cdot (\infty)=+\infty-\infty=+\infty

Neste caso, o termo x 2 é de segundo grau e o termo 3x é de primeiro grau, portanto o monômio x 2 é dominante por ser de ordem superior. Portanto, o resultado do limite é o infinito obtido deste termo.

Dê uma olhada nestes outros exemplos:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^5-4x^2-3x\bigr)=(+\infty)^5=+\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(-3x^2-5x\bigr)=-3\cdot (-\infty)^2=-3\cdot \infty=-\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^7-5x^4+x^3-2x-10\bigr)=(+\infty)^7=+\infty\end{array}

Em suma, quando estabelecemos limites ao infinito em funções polinomiais , devemos simplesmente substituir o infinito no termo de maior grau , ignorando todos os outros termos.

Indeterminação infinita menos infinita com frações

Quando ocorre a indeterminação infinito menos infinito em uma adição ou subtração de frações algébricas , devemos primeiro fazer a adição ou subtração das frações e depois calcular o limite.

Vamos ver como calcular a indeterminação infinito menos infinito em uma função com frações resolvendo um exemplo passo a passo:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)

Vamos tentar calcular o limite primeiro:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}

Mas obtemos a indeterminação ∞-∞.

Então primeiro precisamos fazer a subtração de frações. Para isso, reduzimos as frações a um denominador comum, ou seja, multiplicamos o numerador e o denominador de uma fração pelo denominador da outra:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}

E agora que ambas as frações têm o mesmo denominador, podemos combiná-las numa única fração:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}

Operamos no numerador e no denominador:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}

E finalmente, calculamos o limite novamente:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}

Neste caso a indeterminação infinita entre o infinito dá +∞ porque o grau do numerador é maior que o grau do denominador.

➤ Veja: o que é o infinito entre o infinito?

indeterminação infinito menos infinito com raízes

Quando a indeterminação infinito menos infinito ocorre na adição ou subtração radical , devemos primeiro multiplicar e dividir a função pela expressão radical conjugada e, em seguida, resolver o limite.

Veremos como resolver a indeterminação infinito menos infinito em uma função irracional usando um exemplo passo a passo:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)

Vamos primeiro tentar resolver o limite da função com radicais:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}

No entanto, obtemos a forma indeterminada ∞-∞. Então, para saber quanto de indeterminação é infinito menos infinito, precisamos aplicar o procedimento explicado.

Como a função possui radicais, multiplicamos e dividimos toda a função pela expressão irracional conjugada:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}

A expressão algébrica do numerador corresponde à identidade notável do produto de uma soma por uma diferença, podemos portanto simplificar a expressão:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}

Agora simplificamos a raiz do limite, já que é elevado ao quadrado:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}

Operamos no numerador da fração:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}

E por fim, refazemos o cálculo do limite:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}

O resultado do limite é portanto 0, porque qualquer número dividido pelo infinito é igual a zero.

Resolvidos problemas de indeterminação infinita menos infinita

Exercício 1

Resolva o seguinte limite quando x se aproxima de mais infinito:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(7x^2-2x^3)

Neste limite, o termo de ordem mais elevada é de terceiro grau, por isso focamos no infinito obtido deste termo.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(+7x^2-2x^3)=+\infty^2-\infty^3=+\infty-\infty=\bm{-\infty}

Exercício 2

Calcule o limite da seguinte função polinomial quando x se aproxima do infinito negativo:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3-9x^2)

O infinito negativo ao cubo permanece negativo, mas quando elevado ao quadrado torna-se positivo. mais tarde Embora seus sinais sejam modificados pelos coeficientes à sua frente:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\\[3ex]=-5(-\infty)^3-9(-\infty)^2=\\[3ex]=-5\cdot (-\infty)-9\cdot \infty=\\[3ex]=+\infty-\infty\end{array}

Então, a forma indeterminada infinito menos infinito é definida pelo termo de ordem mais alta (-5x 3 ), do qual obtemos infinito positivo:

\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\bm{+\infty}

Exercício 3

Determine o limite ao infinito da seguinte função racional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)

Primeiro, tentamos calcular o limite substituindo o infinito na função:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}

Mas acabamos com a indeterminação ∞ – ∞. Portanto, reduzimos as frações a um denominador comum:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}

E como ambas as frações agora têm o mesmo denominador, podemos combiná-las em uma fração:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}

Fazemos os parênteses do numerador:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}

E, finalmente, determinamos o limite:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

Neste caso a indeterminação ∞/∞ dá +∞ porque o grau do numerador é maior que o grau do denominador.

Exercício 4

Resolva o limite da seguinte função fracionária quando x se aproxima de 0:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)

Primeiro tentamos calcular o limite normalmente:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}

Mas obtemos a forma indeterminada ∞-∞. Portanto, precisamos reduzir as frações da função a um denominador comum.

Neste caso, x 4 é um múltiplo de x 2 , então simplesmente multiplicando o numerador e o denominador da segunda fração por x 2 obteremos que ambas as frações têm o mesmo denominador:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}

Agora podemos subtrair as duas frações:

\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}

Tentamos resolver o limite novamente:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}

Mas acabamos com a indeterminação de uma constante dividida por zero. É portanto necessário calcular os limites laterais da função.

\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty

Concluindo, como os dois limites laterais da função no ponto x=0 dão -∞, a solução do limite é -∞:

\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}

Exercício 5

Resolva o limite ao infinito da seguinte função com raízes:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)

Tentando resolver o limite, obtemos a indeterminação infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}

Portanto, como existem radicais na função, precisamos multiplicá-la e dividi-la pela expressão radical conjugada:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

No numerador temos o produto notável de uma soma por uma diferença, que é igual à diferença dos quadrados. Ainda:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Simplificamos o radical ao quadrado:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

Operamos no numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}

E, finalmente, encontramos o limite:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

Neste caso a indeterminação infinita dividida pelo infinito é mais infinita porque o grau do numerador é maior que o grau do denominador (lembre-se que a raiz quadrada reduz o grau em dois:

\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2

).

Exercício 6

Resolva o limite quando x se aproxima do infinito da seguinte função irracional:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)

Primeiro, tentamos calcular o limite normalmente:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}

Mas nos dá como resultado a indeterminação da diferença dos infinitos. Portanto, como a função possui raízes, precisamos multiplicar e dividir a expressão pelo radical conjugado:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}

Agrupamos a igualdade notável do numerador da fração:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos a raiz quadrada:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Resolvemos a identidade notável do quadrado de uma diferença:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

Operamos no numerador:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}

E, por fim, calculamos o valor do limite no infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =

Mesmo que haja um x ao quadrado no denominador, seu grau é na verdade 1 porque está dentro de uma raiz:

\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .

Portanto, o resultado da indeterminação -∞/+∞ é a divisão dos coeficientes do x de grau superior, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}

Observe que, como existem dois termos de primeiro grau no denominador

\bigl(2x

E

\sqrt{4x^2}\bigr)

, para resolver a indeterminação -∞/+∞ é necessário tomar todos os coeficientes dos termos de primeiro grau, ou seja, o

2

de

2x

e a

\sqrt{4}

de

\sqrt{4x^2}.

Exercício 7

Calcule o limite quando x se aproxima de 1 da seguinte função com frações:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)

Tentando fazer o limite, obtemos o limite indeterminado do infinito menos infinito:

\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}

Devemos portanto reduzir as frações a um denominador comum, ou por outras palavras, devemos multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo denominador da outra:

\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}

E como as duas frações agora têm o mesmo denominador, podemos juntá-las:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}

Operamos:

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}

\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}

E tentamos resolver o limite novamente:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}

Mas encontramos a indeterminação zero dividida por zero. Devemos, portanto, fatorar os polinômios do numerador e do denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}

Agora simplificamos a fração removendo o fator que se repete no numerador e no denominador:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}

E, finalmente, resolvemos o limite:

\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}

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