Indeterminação infinita entre o infinito (∞/∞)

Neste artigo explicamos como calcular o infinito da indeterminação entre o infinito (∞/∞). Você encontrará exemplos desta indeterminação com todos os tipos de funções: funções polinomiais, radicais, exponenciais, etc. Além disso, você poderá treinar com exercícios resolvidos passo a passo de limites que dão infinitas indeterminações entre infinitos.

Como resolver a indeterminação infinita entre infinito

Quando o limite de uma função dá infinito dividido por infinito, significa que se trata de uma indeterminação (ou forma indeterminada). Para resolver o limite de uma função que dá infinito de indeterminação entre o infinito, o grau do polinômio do numerador deve ser comparado ao grau do polinômio do denominador.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\frac{+\infty}{+\infty}

O resultado da indeterminação infinito dividido pelo infinito depende do grau do numerador e do grau do denominador da fração:

  1. Se o grau do polinômio do numerador for menor que o grau do polinômio do denominador, o infinito da indeterminação dividido pelo infinito é igual a zero.
  2. Se o grau do polinômio do numerador for equivalente ao grau do polinômio do denominador, a indeterminação infinita sobre o infinito é o quociente dos coeficientes principais dos dois polinômios.
  3. Se o grau do polinômio do numerador for maior que o grau do polinômio do denominador, o infinito da indeterminação entre o infinito dá mais ou menos infinito (o sinal depende dos termos principais dos dois polinômios).

\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class= Exemplos de indeterminações infinitas entre o infinito

Vamos ver como a forma indeterminada infinito entre infinito é resolvida observando vários exemplos de cada caso:

grau do numerador menor que o grau do denominador

Como vimos acima, quando o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, o limite infinito indeterminado entre o infinito sempre dá 0.

Exemplo 1:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

O polinômio do numerador é de segundo grau, enquanto o do denominador é de terceiro grau, então a solução do limite é 0.

Exemplo 2:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-7x}{2x^4+3x^2}=\frac{-7\cdot (-\infty)}{2(-\infty)^4}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

A função polinomial do numerador é de primeiro grau, mas a função do denominador é de quarto grau, então o limite ao infinito negativo é 0.

grau do numerador igual ao grau do denominador

Quando o grau do polinômio do numerador é igual ao grau do polinômio do denominador, o limite indeterminado infinito por infinito é calculado dividindo os coeficientes líderes (coeficiente do termo de grau superior) dos dois polinômios.

Exemplo 3:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}

Neste caso, os dois polinômios são de segundo grau, portanto é necessário dividir os coeficientes dos termos de grau superior para encontrar o limite no infinito positivo.

Exemplo 4:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{2x+1}{5x+3} = \cfrac{2(-\infty)}{5(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\cfrac{\bm{2}}{\bm{5}}

Embora o limite seja quando x tende a menos infinito, a indeterminação infinita entre o infinito se resolve da mesma maneira.

Grau do numerador maior que o grau do denominador

Quando o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, a forma indeterminada do infinito entre o infinito sempre dará o infinito, e o sinal do infinito é determinado pelos termos de grau superior dos dois polinômios.

Exemplo 5:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+7}{x-2} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

A função do numerador tem um grau superior ao do denominador, então a indeterminação infinito sobre infinito dá infinito. Além disso, neste caso tanto o numerador quanto o denominador obtêm infinito positivo, então o resultado do limite também deve ser positivo.

Exemplo 6:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

Neste problema, um infinito positivo é obtido do numerador porque qualquer termo quadrado é positivo, por outro lado, um infinito negativo é obtido do denominador. Portanto, o limite resultante é negativo porque positivo dividido por negativo é igual a negativo.

Indeterminação infinita entre o infinito com raízes

Acabamos de ver como calcular a indeterminação infinita entre o infinito quando temos funções polinomiais. Mas… quanto é o infinito dividido pelo infinito se tivermos raízes?

O grau de uma função irracional (função com raízes) é o quociente entre o grau do termo principal e o índice do radical.

\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}

Portanto, se o limite de uma função com raízes dá a indeterminação entre o infinito , devemos aplicar as mesmas regras explicadas acima para os graus do numerador e do denominador, mas levando em consideração que o grau de um polinômio com raízes é calculado de forma diferente.

Veja o seguinte exemplo do limite ao infinito de uma função com radicais:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 4 (8/2=4), portanto o limite é 0 porque o grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Por outro lado, se o grau do numerador e do denominador forem iguais, para calcular o limite indeterminado devemos tomar o coeficiente principal com o radical:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{6x-5}{\sqrt{9x^2+2x}}=\frac{6(+\infty)}{\sqrt{9(+\infty)^2}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\frac{6}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=\bm{2}

Indeterminação infinita entre o infinito com funções exponenciais

Por fim, só nos resta estudar um caso de quociente de indeterminação de infinitos: quanto é a indeterminação infinita entre infinito e funções exponenciais.

O crescimento de uma função exponencial é muito maior que o crescimento de uma função polinomial, portanto devemos considerar que o grau de uma função exponencial é maior que o grau de uma função polinomial.

\text{exponencial}>\text{polinomio}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”192″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <p> Portanto, se a indeterminação infinita dividida pelo infinito resulta de um limite com funções exponenciais, basta aplicar as mesmas regras explicadas para os graus do numerador e do denominador, mas levando em consideração que uma função exponencial é de ordem superior a um polinômio. .</p> <p> Além disso, se tivermos funções exponenciais no numerador e no denominador da divisão, a função exponencial com base maior será de ordem superior.</p> </p> <p class=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Neste caso, o denominador é formado por uma função exponencial, portanto é de ordem superior ao numerador. Portanto, a forma indeterminada infinito entre o infinito desaparece.

Exercícios resolvidos de indeterminação infinita entre o infinito

Exercício 1

Calcule o limite da seguinte função racional:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1}

Ao calcular o limite, obtemos a indeterminação infinita entre o infinito, mas como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite indeterminado é igual a zero.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x-5}{x^2-1} = \cfrac{6(+\infty)}{(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

Exercício 2

Resolva o seguinte limite indeterminado:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4}

Ao tentar calcular o limite, obtém-se a indeterminação ∞/∞. Neste caso, o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, portanto o limite indeterminado é igual a mais infinito.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3+4x-1}{5x^2-3x+4} = \cfrac{(+\infty)^3}{5(+\infty)^2} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}

Exercício 3

Resolva o seguinte limite no infinito:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}

O limite dá indeterminação menos infinito entre mais infinito. O grau do numerador é maior que o grau do denominador, então o limite indeterminado é igual a mais infinito. Porém, como a divisão é infinito negativo por infinito positivo, o resultado é menos infinito.

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}

Exercício 4

Resolva o seguinte limite indeterminado:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}

Neste problema, a forma infinita indeterminada sobre o infinito é obtida a partir do quociente de dois polinômios de mesmo grau, portanto, o resultado do limite indeterminado é a divisão de seus coeficientes principais:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}

Exercício 5

Calcule o seguinte limite pelo menos até o infinito:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}

O grau da expressão algébrica do numerador é menor que o grau da expressão do denominador, então a indeterminação +∞/+∞ dá 0:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}

Exercício 6

Resolva o seguinte limite indeterminado de uma função com raízes:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}

A expressão para o numerador está sob um radical, então seu grau é 7/3. Por outro lado, o polinômio no denominador é quadrático. E como 7/3>2, o limite dá mais infinito:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=+\infty

Exercício 7

Determine o limite ao infinito da seguinte função com frações:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}

Neste exercício, a indeterminação menos infinito dividido por menos infinito é obtida com o grau do numerador maior que o grau do denominador, portanto:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}

Exercício 8

Encontre o limite pelo menos ao infinito da seguinte função:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}

O polinômio denominador é quadrático, enquanto o polinômio numerador é linear. Portanto, o infinito da indeterminação dividido pelo infinito dá 0.

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}

Exercício 9

Resolva o limite pelo menos infinito da seguinte função:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}

O numerador é de grau maior que o denominador, então o resultado da forma indeterminada ∞/∞ será infinito. Além disso, o sinal do infinito será negativo porque o positivo dividido pelo negativo dá o negativo:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}

Exercício 10

Resolva o seguinte limite com indeterminação infinita entre o infinito:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}

A função exponencial é de ordem superior à função polinomial, então o limite dará infinito. Porém, dividindo o positivo pelo negativo, o sinal do infinito será negativo:

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}

Exercício 11

Calcule o seguinte limite:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2}

Neste problema, a indeterminação infinito no infinito é resolvida dividindo os coeficientes dominantes dos dois polinômios, uma vez que são do mesmo grau:

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^3-5x}{-x^3-5x^2} = \cfrac{(-\infty)^3}{-(-\infty)^3} = \cfrac{-\infty}{-(-\infty)}= \cfrac{-\infty}{+\infty}=\cfrac{1}{-1}=\bm{-1}

Exercício 12

Resolva o limite da seguinte função quando x se aproxima do infinito:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}

Embora a incógnita no numerador não seja diretamente elevada ao quadrado, ao resolver a identidade notável podemos ver claramente que o grau do numerador é maior que o grau do denominador. Ainda:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{(x+3)^2}{x}=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2+9+6x}{x} = \cfrac{(+\infty)^2}{+\infty} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}

Exercício 13

Calcule o limite ao infinito da seguinte função com raiz cúbica:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}

O numerador é formado por uma raiz cúbica, então seu grau é 3/3=1. Então, o grau do numerador é igual ao do denominador, então a indeterminação infinita entre o infinito é resolvida da seguinte forma:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{8x^3+1}}{-4x}= \cfrac{\sqrt[3]{8(+\infty)^3}}{-4(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt[3]{8}}{-4}=\cfrac{2}{-4}=\bm{-}\mathbf{\cfrac{1}{2}}

Exercício 14

Resolva o limite ao infinito da seguinte função com dois radicais:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}

O grau do numerador é 7/3 = 2,33 e o grau do denominador é 5/2 = 2,5. Portanto, como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite infinito indeterminado entre o infinito é 0:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

Exercício 15

Calcule o seguinte limite:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}

Independentemente do grau do numerador, como temos uma função exponencial no denominador, o resultado da forma indeterminada infinito sobre infinito é 0:

\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}

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