Grau de um polinômio

Nesta página explicamos o que é o grau de um polinômio (grau absoluto e grau relativo) e como saber qual é o grau de um polinômio. Você também poderá ver vários exemplos de como o grau de um polinômio é determinado e, além disso, descobrirá como os polinômios são classificados de acordo com seu grau.

Qual é o grau de um polinômio?

A definição do grau de um polinômio é a seguinte:

Em matemática, o grau de um polinômio é o maior expoente ao qual a variável polinomial é elevada.

Por exemplo, o seguinte polinômio é de grau 5 porque o valor máximo dos expoentes de seus termos é 5:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Embora pareça um conceito muito simples, saber identificar o grau de um polinômio é essencial para poder somar e subtrair polinômios corretamente. Descubra porque é tão importante nos exemplos de adição de polinômios e exemplos de subtração de polinômios , onde, além disso, você poderá praticar com exercícios resolvidos esses dois tipos de operações com polinômios.

Exemplos de graus de polinômios

Depois de sabermos como identificar o grau de um polinômio, vejamos outros exemplos para entender seu significado:

Exemplo de um polinômio de grau zero:

$P(x) = 4$

Exemplo de um polinômio de primeiro grau:

$P(x) = 3x+2$

Exemplo de um polinômio de segundo grau:

$P(x) = x^2+7x-4$

Exemplo de um polinômio de terceiro grau:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Exemplo de um polinômio de quarto grau:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

Como saber o grau de um polinômio com duas ou mais variáveis?

Acabamos de ver como é determinado o grau de um polinômio univariável, ou seja, com uma única variável. Mas qual é o grau de um polinômio multivariável?

Na álgebra, existem dois tipos de graus polinomiais quando possui mais de uma variável:

Grau absoluto : o grau absoluto corresponde ao grau máximo dos monômios que formam o polinômio
Grau relativo : o grau relativo em relação a uma determinada variável corresponde ao maior expoente dessa variável.

Obviamente, para determinar o grau absoluto de um polinômio você precisa saber como é calculado o grau de um monômio com 2 ou mais variáveis, então se você não se lembra como isso foi feito recomendamos dar uma olhada em nossa página sobre as partes de um monômio . Nesta página você encontrará uma explicação de todas as partes de um monômio e, mais especificamente, como determinar o grau de um monômio multivariável .

Como exemplo, encontraremos os graus absolutos e relativos do seguinte polinômio com 3 variáveis:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

Quanto ao grau absoluto do polinômio, seu primeiro monômio é de grau 9, o segundo termo do polinômio é de grau 6 e, por fim, o terceiro elemento do polinômio é de grau 8. Portanto, o grau absoluto do polinômio de o problema é 9, pois é o grau máximo de seus monômios.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

Por outro lado, o grau relativo refere-se a cada variável individualmente e consiste no expoente máximo dessa variável. Assim, o grau máximo da variável x é 5, o grau relativo da variável y é 6 e, finalmente, o grau em relação à letra z é 2.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Tipos de polinômios de acordo com o grau de seus monômios

Certos polinômios particulares podem ser classificados de acordo com o grau de seus termos:

Polinômio ordenado : Um polinômio é ordenado se seus monômios forem escritos do grau mais alto para o grau mais baixo.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

O polinômio anterior é ordenado porque seus monômios são ordenados por grau em ordem decrescente.

Polinômio completo : aquele polinômio que possui todos os termos de todos os graus, desde o monômio de maior grau até o termo independente.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Logicamente, o número de termos em qualquer polinômio completo é igual ao grau do polinômio mais 1.

Polinômio incompleto : Polinômio em que falta um termo de certo grau entre o monômio de grau superior e o termo independente.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Polinômio homogêneo : Um polinômio é homogêneo quando todos os seus elementos têm o mesmo grau. Por exemplo, o seguinte polinômio é homogêneo porque todos os seus monômios são de grau 7.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Polinômio heterogêneo : um polinômio é heterogêneo se pelo menos um de seus termos tiver grau diferente de qualquer um dos outros termos que compõem o polinômio.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$