Neste artigo você encontrará uma explicação muito detalhada sobre funções polinomiais , complementada por exemplos. Além disso, você poderá ver como as funções polinomiais são utilizadas no dia a dia graças aos exercícios que apresentaremos no final.
O que é uma função polinomial?
Funções polinomiais ou funções polinomiais são funções dadas por uma expressão algébrica equivalente a um polinômio . Isso significa que a expressão deve seguir a estrutura de um polinômio: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n , dependendo da estrutura da qual iremos determinar o tipo de função polinomial que iremos processar. Outra característica muito relevante destas funções é que todos os seus expoentes das incógnitas são positivos e inteiros .
Partes de uma função polinomial
Podemos destacar três elementos importantes em relação a essas funções:
- Coeficientes polinomiais: são os números que acompanham as incógnitas, por exemplo o 3 do seguinte termo é um coeficiente: 3x 2 . Deve-se notar que existem tantos coeficientes quantos termos no polinômio.
- Expoentes ou índices do polinômio: são as potências das incógnitas, por exemplo o 2 do seguinte termo é um expoente: 3x 2 . E como já explicamos, no caso de uma função polinomial, serão sempre positivas e inteiras.
- Grau do polinômio: este valor equivale ao expoente do maior grau entre todos os termos que compõem o polinômio. No caso do polinômio f(x) = 3x 2 – 4x + 2, o grau é igual a dois.
Como saber se uma função é polinomial ou não?
Para identificar uma função polinomial, devemos verificar se ela atende às características que acabamos de falar. Começaremos verificando se a expressão que define a função tem estrutura polinomial : f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n . E a seguir verificaremos se os índices são positivos e inteiros, com estes passos simples poderemos determinar se uma função é polinomial ou não.
Tipos de funções polinomiais com exemplos
A seguir mostraremos os diferentes tipos de funções polinomiais existentes, que são classificadas de acordo com o grau do polinômio. Além disso, você encontrará um exemplo de representação gráfica para cada tipo. Graças a estes exemplos de funções polinomiais você poderá ver melhor as diferenças entre as diferentes categorias.
funções constantes
Funções constantes equivalem a um polinômio de grau 0, isso significa que o coeficiente de x é 0. É por isso que funções deste tipo não dependem do valor da variável independente x. Portanto, sua representação gráfica é uma linha horizontal, que é infinita. Abaixo você encontra o exemplo f(x) = 3 representado:
funções polinomiais de primeiro grau
Em segundo lugar, encontramos as funções polinomiais de primeiro grau , que são dadas por um polinômio de grau 1 com a seguinte estrutura: f(x) = mx + n. Esta expressão é composta por um número denominado inclinação (m) que multiplica a variável xy por uma constante (n) que é adicionada a este produto. Assim, com base nos valores de m e n, podemos identificar três tipos diferentes de funções:
- Funções afins: este subtipo se caracteriza por possuir um valor de n diferente de 0, ou seja, o valor do computador é diferente de 0. Portanto, esse tipo de função não passa pelo ponto (0, 0), também chamado a origem. Comente também que se m < 0, a função será decrescente, enquanto se m > 0, a função será crescente.
- Funções lineares: A única distinção que essas funções têm das funções afins é que n = 0, portanto não possuem computador. Portanto, a expressão para funções lineares é equivalente a f(x) = mx. Este tipo é bastante fácil de representar, pois passa sempre pelo ponto (0, 0) e a partir da inclinação já obtemos o gráfico.
- Funções identidade: este último tipo é um subgrupo de funções lineares, onde an = 0 e m = 1. Isso significa que a expressão permanece f(x) = x, com a qual a representação gráfica é uma diagonal que forma um ângulo de 45º com um dos eixos. Este tipo de função também passa pelo ponto de origem (0, 0).
Abaixo, você encontrará um exemplo de função polinomial de primeiro grau, mais precisamente uma função afim f(x) = 3x + 2:
funções quadráticas
Funções quadráticas ou funções quadráticas são expressas por meio de polinômios quadráticos, que seguem a estrutura: f(x) = ax 2 + bx + c, onde a é diferente de 0. Nesse caso, a representação gráfica é muito mais complexa, pois é não mais uma linha reta, mas uma parábola vertical . Abaixo você encontra a representação da função quadrática f(x) = 2x 2 + 4x – 1:
funções cúbicas
Funções cúbicas ou funções de terceiro grau são dadas por um polinômio de grau três: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, sendo diferente de 0. A representação de uma função deste estilo é ainda mais complexa que o de segundo grau, pois pode assumir diversas formas diferentes. Embora a forma básica, ou pelo menos a mais comum, seja a que mostraremos no exemplo a seguir, f(x) = 2x 3 – 4x 2 + 2x – 2:
Propriedades de funções polinomiais
As funções polinomiais possuem uma série de propriedades ou características que as distinguem de outras funções, e as detalharemos da forma mais clara possível a seguir. Desta forma, ao ver funções como esta, será muito fácil identificá-las:
- O domínio de uma função polinomial é igual a todos os números reais : Dom f = R ou Dom f = (-∞, ∞), portanto são contínuos em todo o conjunto dos números reais.
- Seu ponto de interseção no eixo Y é equivalente a (0, a 0 ), sendo 0 o termo independente.
- Corta ao longo do eixo X um número de vezes igual ou menor que o grau do polinômio.
- Funções polinomiais não possuem assíntotas.
- Se o expoente de todos os termos for ímpar, então o gráfico será simétrico em relação à origem das coordenadas, enquanto se o expoente de todos os termos for par, será simétrico em relação ao eixo OY.
- O número de pontos de inflexão de uma função deste estilo é igual ou menor que n – 2, onde n é o grau.
- O número de máximos e mínimos relativos de uma função deste estilo é igual ou menor que n – 1, onde n é o grau.
Como você analisa uma função polinomial?
Para analisar uma função polinomial, devemos seguir o mesmo procedimento que usaríamos para analisar qualquer outra função. Na lista a seguir resumimos os diferentes elementos que devem ser estudados ou tratados:
- Domínio e alcance
- Pontos de intersecção com os eixos horizontal e vertical
- Monotonia (aumento e diminuição, máximos e mínimos)
- Curvatura (em funções de grau maior que um)
Obviamente, podemos levar a análise a outro nível e estudar muitos outros elementos, embora isso deva ser suficiente. Pois, conhecendo esses elementos, você terá uma ideia clara de como é a função e poderá representá-la graficamente.
Exercícios sobre funções polinomiais
A seguir, oferecemos uma série de exercícios para praticar a representação de funções , em particular funções polinomiais. Desta forma você consolidará todos os conceitos explicados neste artigo:
Exercício 1
Faça um gráfico da seguinte função polinomial de primeiro grau f(x) = x + 2 e diga de que tipo ela é:
É uma função polinomial afim de primeiro grau, porque é diferente de 0 e m é diferente de 0.
Exercício 2
Faça um gráfico da seguinte função polinomial quadrática f(x) = x 2 + x – 2:
Exercício 3
Faça um gráfico da seguinte função polinomial de terceiro grau f(x) = x 2 + x – 2:
