Função tangente hiperbólica

Nesta página você encontrará tudo sobre a tangente hiperbólica: qual a sua fórmula, sua representação gráfica, todas as suas características,…

Fórmula tangente hiperbólica

A função tangente hiperbólica é uma das principais funções hiperbólicas e é representada pelo símbolo tanh(x) . Matematicamente, a tangente hiperbólica é igual ao seno hiperbólico dividido pelo cosseno hiperbólico.

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

A partir da fórmula do seno hiperbólico e da fórmula do cosseno hiperbólico, podemos chegar à seguinte expressão:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

Portanto, a função tangente hiperbólica está relacionada à função exponencial. No link a seguir você pode ver todas as características desses tipos de funções:

➤ Veja: características das funções exponenciais

Representação gráfica da tangente hiperbólica

A partir de sua fórmula, podemos representar graficamente a função tangente hiperbólica:

Como você pode ver no gráfico, a função tangente hiperbólica tem duas assíntotas horizontais em x=+1 e x=-1, uma vez que o limite da função quando x se aproxima de mais infinito dá x=+1, e o limite para menos infinito dá x=-1.

Por outro lado, o gráfico da tangente hiperbólica nada tem a ver com o gráfico da tangente (função trigonométrica), que é uma função periódica. Você pode ver a representação gráfica da tangente e como ela difere da tangente hiperbólica no seguinte link:

➤ Veja: representação gráfica da função tangente

Características da tangente hiperbólica

A função tangente hiperbólica tem as seguintes propriedades:

O domínio da função tangente hiperbólica são todos os números reais.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Em contraste, o caminho ou intervalo da função tangente hiperbólica é limitado a valores entre -1 e +1 (não inclusivo).

$\text{Im } f= (-1,1)$

A tangente hiperbólica é uma função contínua, bijetiva e ímpar (simétrica em relação à origem das coordenadas).

$\displaystyle \text{tanh}(-x) =- \text{tanh}(x)$

A função cruza o eixo X e o eixo Y na origem da coordenada.

$(0,0)$

Os limites para mais/menos infinito da função tangente hiperbólica dão +1/-1. Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em x=+1 e outra assíntota horizontal em x=-1.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{tanh}(x)=+1$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{tanh}(x)=-1$

A tangente hiperbólica é estritamente crescente em todo o seu domínio, portanto não possui extremos relativos (nem máximo nem mínimo).

No entanto, a função muda de convexa para côncava no ponto x = 0, então x = 0 é um ponto de inflexão da função.

O inverso da função tangente hiperbólica é chamado de argumento da tangente hiperbólica (ou arco tangente hiperbólico) e sua fórmula é a seguinte:

$\displaystyle\text{tanh}^{-1}(x)=\text{arg tanh}(x)=\cfrac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

A derivada da função tangente hiperbólica é 1 dividido pelo quadrado do cosseno hiperbólico:

$f(x)=\text{tanh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=1-\text{tanh}^2(x)$

A integral da função tangente hiperbólica é o logaritmo natural do cosseno hiperbólico:

$\displaystyle\int\text{tanh}(x) \ dx= \ln\Bigl(\text{cosh}(x)\Bigr)+C$

A tangente hiperbólica da soma de dois números diferentes pode ser calculada aplicando a seguinte equação:

$\text{tanh}(x+y)=\cfrac{\text{tanh}(x)+\text{tanh}(y)}{1+\text{tanh}(x)\cdot \text{tanh}(y)}$

O polinômio de Taylor ou a série tangente hiperbólica tem o raio de convergência
$\left|x\right|<\cfrac{\pi}{2}$

e corresponde à seguinte expressão:

$\displaystyle\text{tanh}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

Ouro

$B_n$

é o número de Bernoulli .

Fórmula tangente hiperbólica

Representação gráfica da tangente hiperbólica

Características da tangente hiperbólica

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