Função tangente - Mathority

Nesta página você encontrará tudo sobre a função tangente: o que é, qual a sua fórmula, como representá-la em um gráfico, as características da função, seu período, etc. Além disso, você poderá ver exemplos de funções tangentes para compreender totalmente o conceito. Ele ainda explica o teorema da tangente e as relações que a função tangente tem com outras relações trigonométricas.

Fórmula da função tangente

A função tangente de um ângulo α é uma função trigonométrica cuja fórmula é definida como a razão entre o ramo oposto e o ramo contíguo (ou adjacente) de um triângulo retângulo (triângulo com ângulo reto).

Este tipo de função matemática também é chamada de função tangentóide, tangenóide ou tangencial. E pode ser expresso com a abreviatura “tg” ou mesmo “tan”.

A função tangente é uma das três razões trigonométricas mais conhecidas, junto com o seno e o cosseno de um ângulo.

Valores característicos da função tangente

Existem certos ângulos que se repetem frequentemente e, portanto, é conveniente saber o valor da função tangente nestes ângulos:

Por outro lado, a função tangente pode ser ligada às funções seno e cosseno pela seguinte identidade trigonométrica fundamental:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

Assim, o sinal da função tangente depende do quadrante em que o ângulo está localizado:

Se o ângulo pertencer ao primeiro quadrante, sua tangente será positiva, pois neste quadrante o seno e o cosseno também são positivos.
Se o ângulo cair no segundo quadrante, sua tangente será negativa, pois neste quadrante o seno é positivo mas o cosseno é negativo.
Se o ângulo estiver no terceiro quadrante, sua tangente será positiva, pois neste quadrante o seno e o cosseno são negativos.
Se o ângulo estiver no quarto quadrante, sua tangente será negativa, pois neste quadrante o seno é negativo e ao invés o cosseno é positivo.

Representação gráfica da função tangente

Com a tabela de valores que vimos na seção anterior, podemos representar graficamente a função tangente. E fazendo o gráfico da função tangente, obtemos:

Como pode ser visto no gráfico, os valores das imagens da função tangente não são limitados, ao contrário das funções seno e cosseno. Além disso, os valores se repetem a cada 180 graus (π radianos), portanto é uma função periódica cujo período é 180º.

Por outro lado, neste gráfico podemos ver que a função tangente é ímpar , pois seus elementos opostos possuem imagens opostas, ou seja, é simétrica em relação à origem (0,0). Por exemplo, a tangente de 45° vale 1 e a de -45° vale -1.

Finalmente, também podemos ver que a função tangente possui assíntotas verticais . Por exemplo, chega muito perto da linha x=90º, mas nunca a toca, e a mesma coisa acontece a cada 180 graus. Isso significa que o limite da função nesses pontos tende ao infinito.

Propriedades da função tangente

A função tangente possui as seguintes características:

O domínio da função tangente são todos os números reais, exceto os pontos onde há uma assíntota vertical:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

O contradomínio ou contradomínio da função tangente são todos números reais.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

É uma função contínua e ímpar com periodicidade π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

Este tipo de função trigonométrica possui um único ponto de intersecção com o eixo y (eixo Y) no ponto (0,0).

$(0,0)$

Em vez disso, ele intercepta periodicamente a abcissa (eixo X) em várias coordenadas de pi.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

A função é estritamente crescente em todo o domínio, portanto não tem máximo nem mínimo.

A derivada da tangente é:

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

Finalmente, a integral da função tangente é:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

Período da função tangente

Ao contrário de outras funções trigonométricas, como seno e cosseno, a função tangente não tem magnitude, pois não tem valor máximo nem mínimo. Porém, é uma função periódica, ou seja, seus valores se repetem com uma frequência como vimos em seu gráfico.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

O período da função tangente é a distância entre dois pontos nos quais o gráfico se repete e é calculado com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

teorema da tangente

Embora a fórmula da tangente seja normalmente usada em triângulos retângulos, existe também um teorema que pode ser aplicado a qualquer tipo de triângulo: o teorema da tangente.

O teorema da tangente relaciona os lados e ângulos de qualquer triângulo da seguinte forma:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

Relações da função tangente com outras razões trigonométricas

Abaixo você encontra as relações da tangente com as razões trigonométricas mais importantes da trigonometria.

Relação com o seio

A tangente e o seno de um ângulo estão relacionados da seguinte forma:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Razão cosseno

Da mesma forma, a tangente e o cosseno de um ângulo estão relacionados à seguinte igualdade:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

Relação com a cossecante

Embora seja difícil de provar, a tangente pode ser resolvida de modo que dependa apenas da cossecante:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

Relação com a secante

A tangente e a secante de um ângulo estão relacionadas pela seguinte equação:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

Relação com a cotangente

Tangente e cotangente são inversos multiplicativos:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$