Função seno hiperbólica

Neste artigo você encontrará tudo sobre o seno hiperbólico: qual a sua fórmula, sua representação gráfica, todas as suas características, as relações com outras funções,…

Fórmula seno hiperbólica

A função seno hiperbólica é uma das principais funções hiperbólicas e é representada pelo símbolo sinh(x) ou sinh(x) . O seno hiperbólico é igual a e ^x menos e ^-x dividido por 2.

A fórmula para o seno hiperbólico é, portanto, a seguinte:

$\displaystyle\text{senh}(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

Assim, o seno hiperbólico está relacionado à função exponencial.

➤ Veja: características da função exponencial

Representação gráfica do seno hiperbólico

Usando a fórmula que vimos na seção anterior, podemos fazer uma tabela dos valores dos senos hiperbólicos e representar graficamente a função:

Neste gráfico, podemos ver que o seno hiperbólico é uma função ímpar , porque os x opostos têm imagens opostas, ou seja, o gráfico do seno hiperbólico é simétrico em relação à origem das coordenadas (0, 0).

Como você pode ver, o gráfico do seno hiperbólico é muito diferente daquele do seno, que é uma função periódica. Você pode ver a representação gráfica do seno e todas as diferenças com o seno hiperbólico no seguinte link:

➤ Veja: Representação gráfica da função seno

Características do seno hiperbólico

O seno hiperbólico tem as seguintes propriedades:

O domínio da função seno hiperbólica são todos os números reais:

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

O intervalo ou intervalo da função seno hiperbólica também são todos números reais.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

O seno hiperbólico é uma função contínua e ímpar.

$\displaystyle \text{senh}(-x) =- \text{senh}(x)$

Intercepta o eixo X e o eixo Y no mesmo ponto de interseção, a origem da coordenada:

$(0,0)$

O limite da função seno hiperbólica quando x tende para mais/menos infinito é igual a mais/menos infinito:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{senh}(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{senh}(x)=-\infty$

O seno hiperbólico é estritamente crescente em todo o domínio, portanto não tem máximos nem mínimos.

Porém, ela muda sua curvatura no ponto x = 0, portanto é um ponto de inflexão da função. Para valores menores que x=0 é uma função côncava, por outro lado para valores maiores que x=0 é uma função convexa.

A derivada da função seno hiperbólica é o cosseno hiperbólico:

$f(x)=\text{senh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\text{cosh}(x)$

Da mesma forma, a integral da função seno hiperbólica é o cosseno hiperbólico:

$\displaystyle \int \text{senh}(x) \ dx= \text{cosh}(x) + C$

A série de Taylor da função seno hiperbólica é equivalente à seguinte expressão:

$\displaystyle\text{senh}(x)=x+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}+\cfrac{x^7}{7!}+\dots=\sum_{n=0}^\infty\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

A transformada de Laplace da função seno hiperbólica é a seguinte:

$\mathcal{L}\bigl[\text{senh}(at)\bigr]=\cfrac{a}{s^2-a^2}$

Relações matemáticas do seno hiperbólico

O seno hiperbólico está ligado às outras funções hiperbólicas pelas seguintes equações:

A equação fundamental relaciona o seno hiperbólico ao cosseno hiperbólico:

$\text{cosh}^2(x)-\text{senh}^2(x)=1$

Portanto, as funções hiperbólicas seno e cosseno estão relacionadas pela equação da hipérbole, que é x ² -y ² =1. Ao contrário das funções trigonométricas seno e cosseno que estão ligadas pela equação do círculo (x ² +y ² =1).

As funções hiperbólicas de seno, cosseno e tangente podem ser relacionadas pela seguinte equação:

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

Por outro lado, o seno hiperbólico da adição ou subtração de dois números diferentes pode ser calculado com as seguintes fórmulas:

$\text{senh}(x+y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)+\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

$\text{senh}(x-y)=\text{senh}(x)\text{cosh}(y)-\text{senh}(y)\text{cosh}(x)$

O seno hiperbólico de duas vezes um número pode ser determinado aplicando a seguinte relação matemática:

$\text{senh}(2x)=2\text{senh}(x)\text{cosh}(x)$

A soma ou subtração de dois senos hiperbólicos pode ser encontrada usando as seguintes fórmulas:

$\displaystyle\text{senh}(x)+\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x+y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\displaystyle\text{senh}(x)-\text{senh}(y)=2\text{senh}\left(\frac{x-y}{2}\right)\text{cosh}\left(\frac{x+y}{2}\right)$

Finalmente, o quadrado do seno hiperbólico pode ser calculado aplicando a seguinte fórmula:

$\text{senh}^2(x)=\cfrac{1}{2}\Bigl(\text{cosh}(2x)-1\Bigr)$

Fórmula seno hiperbólica

Representação gráfica do seno hiperbólico

Características do seno hiperbólico

Relações matemáticas do seno hiperbólico

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