Função seno - Matoridade

Nesta página você encontrará tudo sobre a função seno: o que é, qual a sua fórmula, como representá-la em um gráfico, as características deste tipo de função, amplitude, período, etc. Além disso, você poderá ver diferentes exemplos de funções senoidais para compreender totalmente o conceito. Ele ainda explica o teorema do seno e as relações que a função seno tem com outras razões trigonométricas.

fórmula da função seno

A função seno de um ângulo α é uma função trigonométrica cuja fórmula é definida como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo (triângulo com ângulo reto).

Este tipo de função matemática é frequentemente escrita com a abreviatura “sin” ou “sin” (do latim sinus ). Além disso, também pode ser chamada de função sinusoidal, sinusoidal ou sinusoidal.

A função seno é uma das razões trigonométricas mais conhecidas, junto com o cosseno e a tangente de um ângulo.

Valores característicos da função seno

Alguns ângulos se repetem com frequência e, portanto, é conveniente saber o valor da função seno nestes ângulos:

valores característicos ou típicos da função seno

Assim, o sinal da função seno depende do quadrante em que o ângulo está localizado: se o ângulo estiver no primeiro ou segundo quadrante, o seno será positivo, por outro lado, se o ângulo estiver no terceiro ou quarto quadrante , o seno será negativo.

Representação gráfica da função seno

Com a tabela de valores que vimos na seção anterior, podemos representar graficamente a função seno. Então, quando traçamos o gráfico da função seno, obtemos:

Como você pode ver no gráfico, os valores das imagens da função seno estão sempre entre +1 e -1, ou seja, ela é limitada na parte superior por +1 e na parte inferior por -1. Além disso, os valores se repetem a cada 360 graus (2π radianos), portanto é uma função periódica cujo período é 360º.

Por outro lado, neste gráfico percebemos perfeitamente que a função seno é ímpar, porque seus elementos opostos possuem imagens opostas, ou seja, é simétrica em relação à origem (0,0). Por exemplo, o seno de 90º é 1 e o seno de -90º é -1.

Propriedades da função seno

A função seno possui as seguintes características:

O domínio da função seno são todos os números reais, pois, como mostra o gráfico, a função existe para qualquer valor da variável independente x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

O caminho ou intervalo da função seno é de menos 1 a mais 1 (ambos inclusive).

$\text{Im } f= [-1,1]$

É uma função contínua e ímpar com periodicidade 2π.

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

Este tipo de função trigonométrica possui um único ponto de intersecção com o eixo y (eixo Y) no ponto (0,0).

$(0,0)$

Em vez disso, ele intercepta periodicamente a abcissa (eixo X) em várias coordenadas de pi.

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

O máximo da função seno ocorre quando:

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

E inversamente, o mínimo da função seno ocorre em:

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

A derivada da função seno é o cosseno:

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

Finalmente, a integral da função seno é o sinal alterado do cosseno:

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

Período e amplitude da função seno

Como vimos no gráfico dele, a função seno é uma função periódica, ou seja, seus valores se repetem conforme uma frequência. Além disso, os valores máximo e mínimo entre os quais oscila dependem de sua amplitude. Portanto, duas características que determinam a função senoidal são o seu período e a sua amplitude:

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

O período da função seno é a distância entre dois pontos nos quais o gráfico se repete e é calculado com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

A amplitude da função seno é equivalente ao coeficiente na frente do termo seno.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Abaixo você pode ver um gráfico mostrando os efeitos da alteração do período ou amplitude:

Na função mostrada em verde, podemos ver que dobrando a amplitude, a função vai de +2 para -2, ao invés de +1 para -1. Por outro lado, na função mostrada em vermelho, você pode ver como ela anda duas vezes mais rápido que a função seno “canônica”, já que seu período foi reduzido pela metade.

teorema do seno

Embora o seno seja normalmente aplicado a triângulos retângulos, existe também um teorema que funciona para qualquer tipo de triângulo: o teorema do(s) seno(s).

A lei dos senos relaciona os lados e ângulos de qualquer triângulo da seguinte forma:

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

Relações da função seno com outras razões trigonométricas

Abaixo você encontrará as relações senoidais com as razões trigonométricas mais importantes da trigonometria.

Razão cosseno

O gráfico da função cosseno é equivalente à curva seno, mas deslocado
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

para a esquerda, então as duas funções podem ser relacionadas pela seguinte expressão: