▷ O que é e como representar uma função quadrática (ou parábola)

Esta página explica o que é uma função quadrática bem como todas as suas características: curvatura, vértice, pontos de intersecção com os eixos, etc. Você também aprenderá como representar uma função quadrática em um gráfico. E por fim, você pode praticar com exemplos, exercícios passo a passo e problemas sobre funções quadráticas.

O que é uma função quadrática?

A definição de uma função quadrática é a seguinte:

Em matemática, uma função quadrática (ou parabólica) é uma função polinomial de grau 2, ou seja, uma função em que o termo de maior grau é de segundo grau. Portanto, a fórmula para uma função quadrática é:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Ouro:

$ax^2$

é o termo quadrático.
$bx$

é o termo linear.
$c$

é o termo independente.

O domínio de uma função quadrática sempre consiste em números reais.

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

Concavidade e convexidade de uma função quadrática

Analisar a curvatura de uma função quadrática ou parabólica é muito simples, pois depende apenas do coeficiente quadrático.

Se o coeficiente
$a$

é positiva, a função quadrática é convexa (na forma

$\bm{\cup}$

). A cimeira é, portanto, um mínimo.
Se o coeficiente
$a$

é negativo, a função quadrática é côncava (em forma

$\bm{\cap}$

). O pico é, portanto, um máximo.

Nota: A comunidade matemática ainda não concorda plenamente e, por isso, alguns professores dizem o contrário: chamam uma função côncava aquela que tem a forma de um

$\bm{\cup}$

, e uma função convexa que tem a forma de

$\bm{\cap}$

. Em todo caso, o importante é qual forma tem a função, seja qual for o nome.

Vértice de uma função quadrática

Para representar graficamente uma função quadrática, é necessário conhecer as coordenadas do vértice da parábola.

Para encontrar o vértice de uma função quadrática, precisamos calcular a coordenada X do ponto usando a seguinte fórmula:

$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$

Então podemos encontrar a outra coordenada do vértice calculando a imagem da função naquele ponto:

$\displaystyle f\left(\frac{-b}{2a}\right)$

Assim, as coordenadas do vértice de uma função quadrática (ou parábola) são:

$\displaystyle \left(\frac{-b}{2a} \ , \ f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$

Cortando pontos com os eixos de uma função quadrática

Uma parábola sempre intercepta o eixo y (eixo Y), e isso acontece quando

$x=0.$

Portanto, para calcular o ponto de corte de uma função quadrática com eixo Y, deve-se resolver

$f(0).$

Por exemplo, o ponto de intersecção com o eixo OY da seguinte função quadrática é:

$f(x)=x^2-2x+1$

$f(0)=0^2-2\cdot 0+1 = 1$

$\bm{(0,1)}$

Por outro lado, o ponto de corte de uma função quadrática com o eixo x (eixo X) ocorre quando

$f(x)=0.$

Então para calcular o ponto de intersecção com o eixo X você tem que resolver a equação

$f(x)=0.$

A título de exemplo, segue abaixo o cálculo do ponto de corte com o eixo OX da mesma função quadrática:

$f(x)=x^2-2x+1$

$0=x^2-2x+1$

Resolvemos a equação quadrática com a fórmula geral:

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\cfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot1}}{2\cdot 1} =\cfrac{2\pm 0}{2} = 1$

O ponto de intersecção da função quadrática com o eixo X é, portanto:

$\bm{(1,0)}$

Neste caso, obtivemos apenas uma solução para a equação quadrática, mas poderíamos ter obtido duas soluções. Neste caso, isso significa que a função quadrática intercepta o eixo X em dois pontos diferentes.

Exemplo de representação de uma função quadrática ou parabólica

Vamos ver como representar uma função quadrática em um gráfico usando um exemplo.

Faça um gráfico da seguinte função:

$f(x)=x^2-4x+5$

A primeira coisa a fazer é calcular o vértice da parábola. Para fazer isso, usamos a fórmula que vimos acima:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-4)}{2\cdot 1}= \cfrac{4}{2}= 2$

Depois de sabermos onde estará o vértice, precisamos construir uma tabela de valores: Calculamos o valor da função no vértice e nos pontos que o rodeiam:

$f(x)=x^2-4x+5$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2^2-4\cdot2+5=1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2-4\cdot1+5=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 3^2-4\cdot3+5=2$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 0^2-4\cdot0+5=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 4^2-4\cdot4+5=5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 2 \\ 0 & 5 \\ 4 & 5 \end{array}$

Você também pode calcular os pontos de corte da função quadrática com os eixos cartesianos para desenhar melhor a parábola, mas isso não é estritamente necessário.

Representamos agora os pontos obtidos em um gráfico :

exemplo de como representar uma função quadrática ou parabólica

E por fim, juntamos os pontos formando a parábola. Depois alongamos os ramos da parábola para indicar que ela continua para cima:

representação de uma função quadrática ou parabólica

Exercícios resolvidos sobre funções quadráticas

Exercício 1

Encontre o vértice da seguinte função quadrática:

$f(x)=2x^2+8x+4$

Veja a solução

Primeiro calculamos a coordenada X do vértice usando a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-8}{2\cdot 2} = \cfrac{-8}{4} = -2$

E agora calculamos a outra coordenada avaliando a função no ponto:

$\begin{aligned} f(-2) & =2(-2)^2+8(-2)+4 \\[1.7ex] & = 2 \cdot 4 - 16 +4 \\[1.7ex] & = 8-16+4 \\[1.7ex] & = -4 \end{aligned}$

O vértice da função quadrática é, portanto:

$\bm{(-2,-4)}$

Exercício 2

Encontre os pontos de corte da seguinte função com os eixos:

$f(x)=x^2-4x+3$

Veja a solução

Para calcular o ponto de corte com o eixo Y, precisamos calcular

$f(0):$

$f(0)=0^2-4\cdot 0+3 = 3$

A função, portanto, passa pelo eixo Y no ponto:

$\bm{(0,3)}$

E para encontrar os pontos de corte com o eixo X precisamos resolver

$f(x)=0:$

$f(x)=x^2-4x+3$

$0=x^2-4x+3$

Calculamos as raízes da equação quadrática com a fórmula:

$x=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x=\cfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1} =\cfrac{4\pm 2}{2} = \begin{cases} 3 \\[2ex] 1 \end{cases}$

A função, portanto, corta o eixo X em dois pontos:

$\bm{(1,0) \qquad (3,0)}$

Exercício 3

Faça um gráfico da seguinte função quadrática:

$f(x)=-x^2+4x+1$

Veja a solução

Esta é uma função quadrática. conseqüentemente, para representá-la deve-se primeiro calcular a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-4}{2\cdot (-1)} = \cfrac{-4}{-2} = 2$

Agora criamos a tabela de valores. Para fazer isso, calculamos o valor de

$f(x)$

no topo e ao redor do topo:

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2^2+4\cdot2+1 = 5$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-1^2+4\cdot1+1 = 4$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-3^2+4\cdot3+1 =4$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-0^2+4\cdot0+1 = 1$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-4^2+4\cdot4+1 = 1$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 3 & 4 \\ 0 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}$

E por fim, plotamos os pontos no gráfico e desenhamos a parábola:

Exercício 4

Faça um gráfico da seguinte função quadrática:

$f(x)=-2x^2-8x-1$

Veja a solução

Esta é uma função de segunda ordem. conseqüentemente, para representá-la você deve primeiro encontrar a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-8)}{2\cdot (-2)} = \cfrac{+8}{-4} = -2$

Agora construímos a tabela de valores. Para fazer isso, calculamos o valor de

$f(x)$

no topo e ao redor do topo:

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=-2(-2)^2-8\cdot(-2)-1 =7$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=-2(-1)^2-8\cdot(-1)-1= 5$

$x= -3 \ \longrightarrow \ f(-3)=-2(-3)^2-8\cdot(-3)-1= 5$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0^2-8\cdot0-1= -1$

$x= -4 \ \longrightarrow \ f(-4)=-2(-4)^2-8\cdot(-4)-1= -1$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 7 \\ -1 & 5 \\ -3 & 5 \\ 0 & -1 \\ -4 & -1 \end{array}$

Por fim, plotamos os pontos no gráfico e desenhamos a parábola:

exercício resolvido passo a passo da função quadrática

Exercício 5

Trace a seguinte função quadrática incompleta em um gráfico:

$f(x)=x^2+2$

Veja a solução

É uma função polinomial de grau dois. conseqüentemente, para representá-la deve-se primeiro calcular a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-0}{2\cdot1} = \cfrac{0}{2} = 0$

Nesse caso, a função está incompleta, pois não possui termo de primeiro grau. Por isso

$b=0 .$

Agora fazemos a tabela de valores. Para fazer isso, calculamos o valor de

$f(x)$

no topo e ao redor do topo:

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0^2+2=2$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1^2+2=3$

$x= -1 \ \longrightarrow \ f(-1)=(-1)^2+2=3$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2^2+2=6$

$x= -2 \ \longrightarrow \ f(-2)=(-2)^2+2=6$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ -1 & 3 \\ 2 & 6 \\ -2 & 6 \end{array}$

Por fim, plotamos os pontos no gráfico e desenhamos a parábola:

exercícios resolvidos para representar uma função quadrática incompleta

Exercício 6

Resolva o seguinte problema relacionado a funções quadráticas:

O custo de produção de um produto é definido pela seguinte função:

$f(x)=x^2-12x+76$

Ouro

$x$

são as unidades produzidas (em milhares) e

$f(x)$

é o custo de produção das unidades (em milhares de euros).

Representa a função de custo de produção em um gráfico.
Determine quantos milhares de unidades devem ser produzidas para minimizar custos.

Veja a solução

Esta é uma função quadrática. conseqüentemente, para representá-la você deve primeiro encontrar a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-(-12)}{2\cdot 1} = \cfrac{12}{2} = 6$

Agora fazemos a tabela de valores. Para fazer isso, calculamos o valor de

$f(x)$

no topo e ao redor do topo:

$x= 6 \ \longrightarrow \ f(6)=6^2-12\cdot6+76 = 40$

$x= 5 \ \longrightarrow \ f(5)=5^2-12\cdot5+76 = 41$

$x= 7 \ \longrightarrow \ f(7)=7^2-12\cdot7+76 = 41$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4^2-12\cdot4+76 = 44$

$x= 8 \ \longrightarrow \ f(8)=8^2-12\cdot8+76 = 44$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 6 & 40 \\ 5 & 41 \\ 7 & 41 \\ 4 & 44 \\ 8 & 44 \end{array}$

Agora plotamos os pontos no gráfico e desenhamos a parábola:

problema de função quadrática ou parabólica

Uma vez representada a função, veremos o quanto os custos são minimizados.

Como mostra o gráfico, os custos mínimos serão alcançados no topo da parábola. Porque é aí que a função assume o menor valor.

Concluindo, os custos serão minimizados com a produção de 6.000 unidades.

Exercício 7

Resolva o seguinte problema de função quadrática:

Um atleta realiza um lançamento de dardo cuja trajetória pode ser representada pela seguinte função:

$h(x) = -0,025x^2+2x+2$

Ouro

$x$

são os metros percorridos pelo dardo e

$h$

sua altura (também em metros).

Qual é a altura máxima que o dardo pode atingir?

Veja a solução

Esta é uma função quadrática, portanto a trajetória do dardo será uma parábola.

Além disso, como o coeficiente do termo quadrático é negativo (-0,025), a parábola terá formato de U invertido e seus ramos serão descendentes. Assim o dardo atingirá a altura máxima no topo, pois este será o ponto mais alto da parábola.

Portanto, calculamos a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-2}{2\cdot (-0,025)} = \cfrac{-2}{-0,05} = 40$

E então calculamos a altura do dardo naquele ponto, avaliando a função em

$x=40:$

$h(40) = -0,025\cdot (40)^2+2\cdot 40+2 = 42$

A altura máxima que o dardo pode atingir é, portanto, de 42 metros.

Exercício 8

Resolva o seguinte problema relativo a funções quadráticas:

Os custos de produção (em euros) de uma empresa são definidos pela seguinte função:

$C(q)=40000+20q+q^2$

Ouro

$q$

são as unidades produzidas.

E o preço de venda de cada unidade é de 520€.

Quanto lucro a empresa terá se vender 150 unidades?
Quantas unidades devem ser vendidas para obter lucro máximo?

Veja a solução

A empresa ganha 520€ por cada unidade vendida. Portanto, a função que define a renda é:

$I(q)=520\cdot q = 520q$

Ouro

$q$

são as unidades vendidas.

Mas nos perguntam sobre o lucro, ou seja, a renda menos os custos. Subtraímos, portanto, a receita menos os custos para obter a função que descreve o lucro da empresa:

$B(q)=I(q)-C(q)$

$B(q)=520q - (40000+20q+q^2)$

$B(q)=520q - 40000-20q-q^2$

$B(q)=-q^2 + 500q - 40000$

Uma vez conhecida a função que descreve o lucro da empresa, basta substituir 150 na expressão da função para calcular o lucro que a empresa obterá com a venda de 150 unidades:

$\begin{aligned} B(150) & =-(150)^2 + 500\cdot 150 - 40000 \\[2ex] & = -22500+75000 - 40000 \\[2ex] & = \bm{12500} \end{aligned}$

Assim, ao vender 150 unidades, a empresa terá um lucro de 12.500€.

O comunicado também nos pede para calcular em quantas unidades o lucro máximo é alcançado.

A função que descreve o lucro é uma função quadrática, portanto terá o formato de uma parábola. E como o coeficiente do termo quadrático é negativo (-1), a parábola terá formato de U invertido e seus ramos irão para baixo. Portanto, os ganhos máximos serão obtidos no topo, já que este é o ponto mais alto da parábola.

Portanto, calculamos a abcissa do vértice da parábola com a fórmula:

$x = \cfrac{-b}{2a} = \cfrac{-500}{2\cdot(-1)} = \cfrac{-500}{-2} = 250$

Assim, a empresa obterá o lucro máximo com a venda de 250 unidades.

Por outro lado, mesmo que o comunicado não o solicite, podemos determinar o lucro que será obtido com a venda destas 250 unidades:

$B(250) =-(250)^2 + 500\cdot250- 40000= 22500$

€

Função quadrática ou parábola

O que é uma função quadrática?

Concavidade e convexidade de uma função quadrática

Vértice de uma função quadrática

Cortando pontos com os eixos de uma função quadrática

Exemplo de representação de uma função quadrática ou parabólica

Exercícios resolvidos sobre funções quadráticas

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

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