Função cosseno - Matoridade

Nesta página você encontrará tudo sobre a função cosseno: o que é, qual a sua fórmula, como representá-la em um gráfico, as características da função, amplitude, período, etc. Além disso, você poderá ver diferentes exemplos de funções cosseno para compreender totalmente o conceito. Explica até o teorema do cosseno e as relações que a função cosseno tem com outras razões trigonométricas.

fórmula da função cosseno

A função cosseno de um ângulo α é uma função trigonométrica cuja fórmula é definida como a razão entre o cateto contíguo (ou adjacente) e a hipotenusa de um triângulo retângulo (triângulo com ângulo reto).

Este tipo de função matemática também é chamada de função cosseno, cosseno ou cosseno.

A função cosseno é uma das três razões trigonométricas mais conhecidas, junto com o seno e a tangente de um ângulo.

Valores característicos da função cosseno

Alguns ângulos se repetem com frequência e, portanto, é conveniente saber o valor da função cosseno nestes ângulos:

Assim, o sinal da função cosseno depende do quadrante em que o ângulo está localizado: se o ângulo estiver no primeiro ou quarto quadrante, o cosseno será positivo, por outro lado, se o ângulo cair no segundo ou terceiro quadrante , o cosseno será negativo.

Representação gráfica da função cosseno

Com a tabela de valores que vimos na seção anterior, podemos representar graficamente a função cosseno. E fazendo o gráfico da função cosseno, obtemos:

como representar graficamente a função cosseno

Como você pode ver no gráfico, os valores das imagens da função cosseno estão sempre entre +1 e -1, ou seja, ela é limitada na parte superior por +1 e na parte inferior por -1. Além disso, os valores se repetem a cada 360 graus (2π radianos), portanto é uma função periódica cujo período é 360º.

Por outro lado, neste gráfico apreciamos perfeitamente que a função cosseno é par, porque os seus elementos opostos têm a mesma imagem, ou seja, é simétrica em relação ao eixo do computador (eixo Y). Por exemplo, o cosseno de 90º é 0 e o de -90º é 0.

Propriedades da função cosseno

A função cosseno possui as seguintes características:

O domínio da função cosseno são todos os números reais, pois, como mostra o gráfico, a função existe para qualquer valor da variável independente x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

O caminho ou intervalo da função cosseno é de 1 negativo a 1 positivo (ambos inclusivos).

$\text{Im } f= [-1,1]$

É uma função contínua e binária com periodicidade 2π.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

Este tipo de função trigonométrica possui um único ponto de intersecção com o eixo OY no ponto (0,1).

$(0,1)$

Em vez disso, ele intercepta periodicamente a abcissa (eixo X) em múltiplas coordenadas ímpares da média pi.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

O máximo da função cosseno ocorre quando:

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

E inversamente, o mínimo da função cosseno ocorre em:

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

A derivada da função cosseno é o seno com sinal alterado:

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

Finalmente, a integral da função cosseno é seno:

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

Período e amplitude da função cosseno

Como vimos no gráfico dele, a função cosseno é uma função periódica, ou seja, seus valores se repetem com frequência. Além disso, os valores máximo e mínimo entre os quais oscila dependem de sua amplitude. Assim, duas características importantes que determinam a função cosseno são o seu período e a sua amplitude:

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

O período da função cosseno é a distância entre dois pontos nos quais o gráfico se repete e é calculado com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

A magnitude da função cosseno é equivalente ao coeficiente na frente do termo cosseno.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Abaixo você pode ver um gráfico mostrando os efeitos da alteração do período ou amplitude:

Na função mostrada em verde, podemos ver que ao dobrar a amplitude, a função vai de +2 para -2, ao invés de +1 para -1. Por outro lado, na função mostrada em vermelho, você pode ver como ela anda duas vezes mais rápido que a função cosseno “canônica”, já que seu período foi reduzido à metade.

teorema do cosseno

Embora a fórmula do cosseno seja normalmente usada em triângulos retângulos, existe também um teorema que pode ser aplicado a qualquer tipo de triângulo: o teorema do cosseno ou cosseno.

O teorema do cosseno relaciona os lados e ângulos de qualquer triângulo da seguinte forma:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

Relações da função cosseno com outras razões trigonométricas

Então você tem as relações de cosseno com as razões trigonométricas mais importantes da trigonometria.

Relação com o seio

O gráfico da função seno é equivalente à curva cosseno, mas deslocado
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

à direita, as duas funções podem, portanto, ser ligadas pela seguinte expressão: