Equações paramétricas da reta

Nesta página você descobrirá como calcular as equações paramétricas de qualquer reta, seja a partir de um ponto e um vetor, seja a partir de dois pontos. Você também descobrirá como obter diferentes pontos em uma reta com suas equações paramétricas. E, além disso, você poderá ver diversos exemplos e praticar com exercícios resolvidos.

Como encontrar equações paramétricas de uma reta

Para determinar as equações paramétricas de qualquer reta, basta seu vetor de direção e um ponto pertencente à reta.

Sim

$\vv{\text{v}}$

é o vetor de direção da linha e

$P$

um ponto que pertence à direita:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

A fórmula para as equações paramétricas da reta é:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
$P_1$

E

$P_2$

são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha.
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

são os componentes do vetor de direção da linha.
$t$

é um escalar (um número real) cujo valor depende de cada ponto da reta.

Portanto, as equações paramétricas são uma forma de expressar uma reta analiticamente.

equações paramétricas da linha tridimensional

Estas são as equações paramétricas da reta no plano, ou seja, quando se trabalha com pontos e vetores de 2 coordenadas (em R2). Contudo, se estivéssemos fazendo cálculos no espaço (em R3), precisaríamos adicionar uma equação adicional para a terceira componente Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Por outro lado, tenha em mente que além das equações paramétricas, existem outras maneiras de descrever matematicamente uma reta: a equação vetorial, a equação contínua, a equação implícita (ou geral), a equação explícita e a equação ponto-inclinação de Aline. Você pode conferir o que é cada um deles em nosso site.

Exemplo de determinação das equações paramétricas da reta

Agora vamos ver como encontrar as equações paramétricas de uma reta usando um exemplo:

Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
$P$

e tem

$\vv{\text{v}}$

como vetor orientador:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Para calcular as equações paramétricas da reta, precisamos aplicar sua fórmula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Portanto, substituímos as coordenadas do ponto e o vetor de direção na fórmula:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Obtendo pontos de equações paramétricas de linha

Depois de encontrarmos as equações paramétricas da reta, é muito fácil calcular os pontos pelos quais a reta passa. Para determinar um ponto em uma linha , você deve atribuir um valor ao parâmetro

$\bm{t}$

equações paramétricas da reta.

Por exemplo, dadas as seguintes equações paramétricas da reta:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Podemos obter um ponto na reta substituindo

$t$

por qualquer número, por exemplo

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

E podemos calcular outro ponto na reta se substituirmos a variável

$t$

por um número diferente, por exemplo

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Portanto, podemos obter infinitos pontos na reta, porque a variável

$t$

pode assumir valores infinitos.

Como calcular equações paramétricas de retas a partir de dois pontos

Outro problema típico das equações paramétricas é que elas nos dão 2 pontos que pertencem à reta e a partir deles temos que calcular as equações paramétricas. Vamos ver como isso se resolve por meio de um exemplo:

Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Como vimos nas seções acima, para determinar as equações paramétricas de uma reta, precisamos do seu vetor diretor e de um ponto nele. Já temos um ponto à direita, mas falta-lhe o seu vetor diretor. Então , primeiro precisamos calcular o vetor diretor da reta e depois as equações paramétricas .

Para encontrar o vetor direção da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na expressão:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

E como também sabemos o vetor diretor da reta, para encontrar suas equações paramétricas basta aplicar a fórmula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

Neste caso pegamos o ponto A para definir as equações paramétricas, mas também é correto escrevê-las com o outro ponto que nos dão no enunciado:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Problemas resolvidos de equações paramétricas da reta

Exercício 1

Encontre a equação paramétrica da reta cujo vetor de direção é

$\vv{\text{v}}$

e passa pelo ponto

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

veja solução

Para encontrar as equações paramétricas da reta, basta aplicar sua fórmula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Exercício 2

Calcule dois pontos diferentes da seguinte reta definida pelas equações paramétricas:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

veja solução

Para obter pontos de uma reta expressa com equações paramétricas, devem ser dados valores ao parâmetro

$t.$

Portanto, para calcular um primeiro ponto, substituímos a incógnita

$t$

por exemplo por

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

E para encontrar um segundo ponto na reta damos

$t$

por exemplo o valor de

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Você pode ter obtido pontos diferentes, pois depende dos valores que você dá ao parâmetro

$t.$

Mas se você seguiu o mesmo procedimento, está tudo bem.

Exercício 3

Dado o seguinte ponto:

$P(3,-1)$

Determine se este ponto pertence ou não à seguinte linha:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

veja solução

Para verificar se o ponto pertence à reta, você deve substituir suas coordenadas nas equações da reta e ver se em cada equação encontramos o mesmo valor do parâmetro

$t.$

Nesse caso, significará que o ponto faz parte da reta, caso contrário, implicará que a reta não passa por este ponto.

Assim, substituímos as coordenadas do ponto nas equações paramétricas da reta:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

E resolvemos as duas equações resultantes:

Coordenadas X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Coordenadas Y

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

Obtivemos dois valores de

$t$

diferente, então o ponto não está em jogo.

Exercício 4

Calcule as equações paramétricas da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

veja solução

Para calcular as equações paramétricas de uma reta, precisamos conhecer seu vetor diretor e um de seus pontos. Nesse caso, já temos um ponto na reta, mas falta seu vetor diretor. Devemos, portanto, primeiro calcular o vetor diretor da reta e depois as equações paramétricas.

Para encontrar o vetor direção da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na expressão:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

E uma vez que já conhecemos o vetor diretor da reta, para encontrar suas equações paramétricas simplesmente aplicamos a fórmula:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Neste caso escolhemos o ponto A para definir as equações paramétricas, mas também é válido escrevê-las com o outro ponto que nos dão no enunciado:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Aplicações de equações paramétricas

Obviamente, o principal uso das equações paramétricas é definir retas, como vimos. No entanto, equações paramétricas também são usadas para descrever outros tipos de elementos geométricos.

Por exemplo, qualquer circunferência pode ser expressa por equações paramétricas. Sim

$r$

é o raio do círculo e

$C(x_0,y_0)$

são as coordenadas do seu centro, a parametrização de um círculo é:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Da mesma forma, uma elipse também pode ser configurada. Sim

$C(x_0,y_0)$

são as coordenadas do centro da elipse,

$a$

seu raio horizontal e

$b$

seu raio vertical, as equações paramétricas de uma elipse são:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Da mesma forma, pode ser feita representação paramétrica de outras curvas, como uma parábola ou mesmo uma hipérbole. Embora não os mostremos neste artigo porque são muito mais complicados.

Finalmente, um plano também pode ser definido por uma expressão paramétrica. Na verdade, as equações paramétricas de um plano são:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$