Produto da soma pela diferença (identidade notável)

Nesta página você encontrará a fórmula do produto da soma pela diferença. Além disso, você poderá ver exemplos de aplicação da fórmula desse notável tipo de identidade, e ainda poderá praticar com exercícios resolvidos passo a passo.

Qual é o produto da soma e da diferença?

Em matemática, a noção de produto da soma pela diferença refere-se a uma das igualdades notáveis , também chamadas de identidades notáveis ou produtos notáveis.

Mais precisamente, a expressão para o produto da soma pela diferença tem a forma (a+b)·(ab) , onde (a+b) corresponde à soma de dois termos diferentes, e (ab) é a diferença desses mesmos dois termos.

Fórmula para produto de soma por diferença

Agora que conhecemos a definição matemática do produto da soma vezes a diferença, vamos ver qual fórmula é usada para resolver este notável tipo de identidade:

Portanto, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença dos quadrados desses termos . Em outras palavras, multiplicar a soma de dois termos diferentes pela subtração desses mesmos dois termos equivale a elevar ao quadrado cada um dos 2 termos e subtraí-los.

Isto implica que as diferenças de quadrados podem ser fatoradas em produtos de somas vezes as diferenças. Embora agora possa parecer complicado para você, na página vinculada explicamos um truque que permite fatorar esse tipo de polinômio em duas etapas simples. Clique e descubra como é feito.

Exemplos de produtos de somas por diferenças

Depois de sabermos qual é a fórmula do produto da soma e da diferença, veremos a seguir vários exemplos resolvidos para que você possa entender melhor como se resolve esse notável tipo de igualdade.

Exemplo 1

Calcule, aplicando a fórmula, o seguinte produto da soma pela diferença de dois termos diferentes:

$(x+2)\cdot (x-2)$

A fórmula para o produto da soma pela diferença é a seguinte:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Então a primeira coisa que precisamos fazer é identificar os valores dos parâmetros

$a$

$b$

da fórmula. Nesse caso

$a$

corresponde à variável

$x$

$b$

corresponde ao número 2.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

E agora que sabemos quais valores os parâmetros assumem

$a$

$b,$

Podemos aplicar a fórmula do produto da soma pela diferença:

Como você pode ver, o produto de uma soma por uma diferença sempre dará um termo negativo. No entanto, isto não deve ser confundido com a notável identidade do quadrado de uma subtração. Se você tiver alguma dúvida, recomendamos que dê uma olhada em qual é a fórmula do quadrado da diferença , onde você também descobrirá quais são as diferenças entre essas duas identidades notáveis

Exemplo 2

Encontre, usando a fórmula, o seguinte produto da soma pela diferença de dois binômios:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

A fórmula para o produto da soma pela diferença é a seguinte:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Portanto, neste caso

$a=3x$

$b=5$

. Portanto, se aplicarmos a fórmula da soma por diferença, obteremos a seguinte expressão algébrica:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

Exemplo 3

Resolva com a fórmula o seguinte produto da soma pela diferença de dois monômios:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

Como a multiplicação tem propriedade comutativa, multiplicar primeiro a diferença e depois a soma de duas quantidades equivale a multiplicar os mesmos parênteses ao contrário.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Portanto, embora neste caso o produto seja invertido, ou seja, antes da adição é a subtração, o resultado permanece o mesmo da fórmula:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

Então neste problema

$a=4x$

$b=2y$

. E quando tivermos identificado o valor de cada incógnita podemos usar a fórmula para calcular o produto notável:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

Demonstração da fórmula de soma por diferença

A fórmula da soma vezes a diferença que acabamos de estudar pode ser facilmente demonstrada.

Se partirmos do produto de uma soma pela subtração de quaisquer dois termos:

$(a+b)\cdot (a-b)$

Simplesmente multiplique o primeiro parêntese pelo segundo parêntese usando a propriedade distributiva:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

E agrupando termos semelhantes, chegamos à seguinte expressão:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Portanto, a fórmula para o produto notável da soma por diferenças é derivada:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Exercícios resolvidos para o produto da soma por diferença

Abaixo preparamos vários exercícios de adição por diferenças resolvidos passo a passo para que você possa praticar. Os exercícios são ordenados do menos para o mais difícil, por isso recomendamos começar com 1, continuar com 2 e finalmente fazer 3, que é o mais difícil.

⬇⬇Não se esqueça também que você pode nos deixar qualquer dúvida que surgir nos comentários!⬇⬇

Exercício 1

Resolva os seguintes produtos de somas por diferenças:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

veja solução

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

Exercício 2

Expresse as seguintes multiplicações como diferenças de quadrados:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

veja solução

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

Exercício 3

Resolva as seguintes identidades notáveis:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

veja solução

Para resolver a primeira igualdade notável, é preciso lembrar que uma raiz quadrada simplifica:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

Os 2 monômios da segunda soma por diferença possuem coeficientes fracionários, portanto devemos resolver este exercício utilizando as propriedades das frações:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

Finalmente, a última igualdade notável é um pouco especial porque contém outro produto notável (o quadrado da soma):

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

Qual é o produto da soma e da diferença?

Fórmula para produto de soma por diferença

Exemplos de produtos de somas por diferenças

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Demonstração da fórmula de soma por diferença

Exercícios resolvidos para o produto da soma por diferença

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

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