Equação vetorial da reta

Nesta página você descobrirá como calcular a equação vetorial da reta. Além disso, você poderá ver diversos exemplos e praticar com exercícios resolvidos. E você também descobrirá como os pontos de uma reta são obtidos a partir de sua equação vetorial.

Qual é a equação vetorial da reta?

Lembre-se de que a definição matemática de uma reta é um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma direção, sem curvas ou ângulos.

Portanto, a equação do vetor reta é uma forma de expressar matematicamente qualquer reta. E, para isso, basta um ponto que pertença à reta e ao vetor diretor da reta.

Como a equação vetorial da reta é calculada?

Sim

$\vv{\text{v}}$

é o vetor de direção da linha e

$P$

um ponto que pertence à direita:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

A fórmula para a equação vetorial da reta é:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

Ouro:

$x$

E

$y$

são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
$P_1$

E

$P_2$

são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha.
$\text{v}_1$

E

$\text{v}_2$

são os componentes do vetor de direção da linha.
$t$

é um escalar (um número real) cujo valor depende de cada ponto da reta.

É a equação vetorial da reta no plano, ou seja, quando se trabalha com pontos e vetores de 2 coordenadas (em R2). Porém, se estivéssemos fazendo cálculos no espaço (em R3), teríamos que adicionar um componente adicional à equação da reta:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

Por outro lado, tenha em mente que além da equação vetorial, existem outras maneiras de expressar analiticamente uma reta: equações paramétricas, equação contínua, equação implícita (ou geral), equação explícita e equação ponto-inclinação de uma reta . Você pode ver todos os tipos de equações na linha neste link.

Exemplo de como encontrar a equação vetorial da reta

Vamos ver como a equação vetorial da reta é determinada usando um exemplo:

Escreva a equação vetorial da reta que passa pelo ponto
$P$

e tem

$\vv{\text{v}}$

como vetor orientador:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

Para encontrar a equação vetorial da reta, basta aplicar sua fórmula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

Obtendo pontos da equação vetorial da reta

Depois de encontrarmos a equação vetorial da reta, é muito fácil calcular os pontos pelos quais a reta passa. Para determinar um ponto em uma linha , basta atribuir um valor ao parâmetro

$\bm{t}$

da equação vetorial da reta.

Por exemplo, dada a seguinte equação vetorial da reta:

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

Um ponto é marcado substituindo

$t$

por qualquer número, por exemplo

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

E podemos calcular outro ponto na reta que dá a incógnita

$t$

um número diferente, por exemplo

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

Portanto, podemos obter infinitos pontos na reta, porque a variável

$t$

pode assumir valores infinitos.

Problemas resolvidos da equação vetorial da reta

Exercício 1

Encontre a equação vetorial da reta que passa pelo ponto

$P$

e cujo vetor de direção é

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

veja solução

Para calcular a equação vetorial da reta, basta aplicar sua fórmula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Exercício 2

Calcule três pontos que estão na reta do problema anterior.

veja solução

Para obter pontos de uma reta descrita com a equação vetorial, devem ser dados valores ao parâmetro

$t.$

A equação vetorial calculada no problema anterior é:

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

Para calcular um ponto substituímos a incógnita

$t$

por exemplo por

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

Para encontrar um segundo ponto damos

$t$

por exemplo o valor de

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

E, finalmente, obtemos o terceiro ponto atribuindo

$t$

o valor de

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

Você pode ter obtido pontos diferentes, pois depende dos valores que você dá ao parâmetro

$t.$

Mas se você seguiu o mesmo procedimento, está tudo bem.

Exercício 3

Ou dois pontos:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

Encontre a equação vetorial da reta que passa por esses dois pontos.

veja solução

Neste caso não temos o vetor direção da reta, devemos primeiro encontrar seu vetor direção e depois a equação da reta.

Portanto, para encontrar o vetor direção da reta devemos calcular o vetor definido pelos dois pontos dados:

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

E uma vez que já conhecemos o vetor diretor da reta, podemos determinar sua equação vetorial a partir de um dos pontos dados e da fórmula:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

A equação encontrada colocando o outro ponto dado na fórmula também é válida:

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

Qual é a equação vetorial da reta?

Como a equação vetorial da reta é calculada?

Exemplo de como encontrar a equação vetorial da reta

Obtendo pontos da equação vetorial da reta

Problemas resolvidos da equação vetorial da reta

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

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