Distância entre dois planos (fórmula)

Nesta página você encontrará como encontrar a distância entre dois planos. Você verá em particular os dois métodos que existem e quando é melhor usar um ou outro. Além disso, você tem exemplos e exercícios resolvidos de distância entre dois planos para que possa entendê-los bem.

Como é calculada a distância entre dois planos?

A distância entre dois planos no espaço depende da posição relativa entre estes dois planos:

Se os dois planos se cruzam ou coincidem , a distância entre eles é zero porque se cruzam num ponto.
Se os dois planos forem paralelos , a distância entre os dois planos é calculada tomando um ponto em qualquer plano e calculando a distância entre esse ponto e o outro plano.

Lembre-se de que os planos perpendiculares são um tipo de planos que se cruzam, portanto a distância entre dois planos perpendiculares também é zero.

Então, para calcular a distância entre dois planos, você deve primeiro determinar qual é a posição relativa entre eles e, portanto, é fundamental que você saiba encontrar a posição relativa de dois planos . Se você não tem certeza de como fazê-lo, recomendamos que dê uma olhada no link, onde encontrará uma explicação bem detalhada, além de exemplos e exercícios resolvidos.

Como calcular a distância entre dois planos paralelos

Dois planos paralelos estão sempre à mesma distância um do outro. Portanto, para determinar a distância entre dois planos paralelos, podemos pegar num ponto num dos dois planos e calcular a distância desse ponto ao outro plano.

Portanto, a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos é:

Considere dois planos paralelos, dado um ponto em um dos planos e a equação geral (ou implícita) do outro plano:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

A fórmula para encontrar a distância entre dois planos paralelos que passam pelo ponto de um plano e a equação geral do outro plano é:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Esta é uma fórmula usada para encontrar a distância entre dois planos paralelos. No entanto, às vezes podemos usar outro método ainda mais simples:

Os coeficientes A, B e C das equações implícitas (ou gerais) de dois planos devem ser proporcionais. Bom, se num problema encontramos dois planos cujos coeficientes A, B e C são exatamente iguais, podemos usar outra fórmula sem precisar conhecer nenhum ponto de qualquer plano:

Considere as equações gerais (ou implícitas) de dois planos paralelos com coeficientes idênticos A, B e C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

A fórmula para encontrar a distância entre os dois planos paralelos a partir das equações gerais dos dois planos é:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Em última análise, existem duas maneiras de encontrar a distância entre dois planos paralelos. A primeira é mais útil quando conhecemos um ponto num dos dois planos. Porém, se conhecermos a equação geral dos dois planos, é melhor calcular a distância com a segunda fórmula.

Exemplo de cálculo da distância entre dois planos paralelos

Como exemplo, calcularemos a distância entre os dois planos a seguir:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

Devemos primeiro verificar se estamos lidando com dois planos paralelos. Assim, todos os coeficientes das equações planas são proporcionais, exceto os termos independentes, portanto são efetivamente dois planos paralelos.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Neste caso, os termos A, B e C das equações dos dois planos não coincidem, mas podemos conseguir isso dividindo toda a equação do segundo plano por dois:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

Portanto, as equações dos dois planos agora já possuem os mesmos coeficientes A, B e C. Portanto, podemos facilmente calcular a distância entre os dois planos com a seguinte fórmula para a distância entre 2 planos paralelos:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Substituímos os valores e resolvemos as operações:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

Para que a distância entre um plano e outro plano seja igual à unidade.

Resolvendo problemas de distância entre dois planos

Exercício 1

Encontre a distância entre os dois planos a seguir:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

veja solução

Devemos primeiro verificar se estamos lidando com dois planos paralelos. Todos os coeficientes das equações dos dois planos são proporcionais, com exceção dos termos independentes, portanto estes são de fato dois planos paralelos.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

Neste caso calcularemos a distância entre os dois planos com a fórmula direta, pois seus coeficientes A, B e C são iguais:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Assim, substituímos os valores na fórmula e realizamos as operações:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

Exercício 2

Calcule a distância entre os dois planos a seguir:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

veja solução

Em primeiro lugar, devemos verificar se são dois planos paralelos para determinar a distância que os separa. Para isso, verificamos a proporcionalidade entre os coeficientes dos dois planos:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

Mas os coeficientes A, B e C dos dois planos não são proporcionais, apenas os parâmetros A e B. Portanto, os dois planos não são paralelos e sim se cruzam e, portanto, a distância entre eles é igual a 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

Exercício 3

Encontre a distância entre os seguintes dois planos paralelos:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

veja solução

O plano do primeiro plano é definido na forma de equações paramétricas, portanto, para aplicar a fórmula direta para a distância entre dois planos paralelos, primeiro precisamos convertê-la na forma de uma equação geral e isso leva muitos cálculos e tempo. Portanto, é mais rápido pegarmos um ponto nesse plano e calcularmos a distância desse ponto ao outro plano.

Assim, as coordenadas de um ponto pertencente ao plano π ₁ correspondem aos termos independentes de cada equação paramétrica:

$P(3,-2,5)$