Equação contínua da reta

Nesta página você encontrará tudo sobre a equação contínua de uma reta: o que significa, como é calculada a partir de seu ponto e de seu vetor e como é determinada com apenas dois pontos. Além disso, você poderá ver diversos exemplos e ainda poderá praticar com exercícios e problemas resolvidos passo a passo.

Qual é a equação contínua da reta?

Lembre-se de que a definição matemática de uma reta é um conjunto de pontos consecutivos representados na mesma direção, sem curvas ou ângulos.

Portanto, a equação da reta contínua é uma forma de expressar matematicamente qualquer reta. E, para isso, basta conhecer um ponto que pertence à reta e o vetor diretor da reta.

Como a equação contínua da reta é calculada?

Esta fórmula é para a equação contínua da reta no plano, ou seja, quando se trabalha com pontos e vetores de 2 coordenadas (em R2). Mas se estivéssemos fazendo cálculos no espaço (em R3), teríamos que adicionar um componente adicional à equação da reta:

Por outro lado, tenha em mente que além da equação contínua, existem outras maneiras de expressar analiticamente uma reta: a equação vetorial, as equações paramétricas, a equação implícita (ou geral), a equação explícita e a equação ponto-inclinação de Aline. Você pode verificar o que é em nosso site.

Na verdade, a equação contínua de uma reta pode ser obtida a partir de suas equações paramétricas. Veja a fórmula para as equações paramétricas na reta :

Se limparmos a configuração

de cada equação paramétrica obtemos:

Ao igualar as duas equações resultantes, obtemos a equação contínua da reta:

Exemplo de como encontrar a equação contínua da reta

Vamos ver como a equação contínua da reta é determinada usando um exemplo:

• Escreva a equação contínua da reta que passa pelo ponto

  

  e tem

  

  como vetor orientador:

Para encontrar a equação contínua da reta, basta aplicar sua fórmula:

Como encontrar a equação contínua da reta de dois pontos

Um problema comum com a equação contínua é que elas nos dão 2 pontos que pertencem à reta e a partir deles precisamos calcular a equação contínua. Vamos ver como isso se resolve por meio de um exemplo:

• Encontre a equação contínua da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

Como vimos nas seções acima, para calcular a equação contínua de uma reta, precisamos saber seu vetor diretor e um ponto nele. Já temos um ponto à direita, mas falta-lhe o seu vetor diretor. Devemos, portanto, primeiro calcular o vetor diretor da reta e depois a equação contínua .

Para determinar o vetor direção da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na expressão:

E como já sabemos o vetor diretor da reta, para encontrar a equação contínua da reta basta aplicar a fórmula:

Neste caso pegamos o ponto A para definir a equação contínua da reta, mas também é correto escrevê-lo com o outro ponto que nos dão no enunciado:

Problemas resolvidos da equação contínua da reta

Exercício 1

Encontre a equação contínua da reta cujo vetor direção é

e passa pelo ponto

Para encontrar a equação contínua da reta, basta aplicar sua fórmula:

Exercício 2

Determine o vetor de direção e um ponto na seguinte reta:

A reta na afirmação é expressa na forma de uma equação contínua, cuja fórmula é:

Para que as componentes do vetor diretor da reta correspondam aos denominadores das frações:

E as coordenadas cartesianas de um ponto na reta são os números dos numeradores com sinal alterado :

Exercício 3

Encontre a equação contínua da reta que passa pelos dois pontos a seguir:

Para calcular a equação contínua de uma reta, precisamos conhecer seu vetor diretor e um de seus pontos. Nesse caso, já temos um ponto na reta, mas falta seu vetor diretor. Devemos, portanto, primeiro calcular o vetor diretor da reta e depois a equação continuada.

Para encontrar o vetor direção da reta, basta calcular o vetor definido pelos dois pontos dados na expressão:

E uma vez que já conhecemos o vetor diretor da reta, para encontrar sua equação contínua simplesmente aplicamos a fórmula:

Neste caso escolhemos o ponto A para definir a equação contínua, mas também é válido escrevê-lo com o outro ponto que nos dão no enunciado:

Exercício 4

Dado o seguinte ponto:

Determine se pertence ou não à reta definida pela seguinte equação contínua:

Para verificar se o ponto pertence à reta, você deve substituir as coordenadas do ponto na equação da reta. Se o ponto satisfizer a equação, significará que realmente pertence à reta, por outro lado, se a equação não for satisfeita, implicará que o ponto não faz parte da reta.

Portanto, substituímos as coordenadas do ponto na equação da reta dada:

E operamos:

1 não é igual a 0, então o ponto não satisfaz a equação da reta e, portanto, não pertence à reta .

Exercício 5

Encontre a equação contínua da reta a partir de suas equações paramétricas:

Para passar das equações paramétricas para a equação contínua da reta, é necessário isolar o parâmetro

de cada equação paramétrica:

E então equalizamos as duas equações resultantes e obtemos assim a equação contínua da reta: