Nesta página você encontrará a explicação de matrizes semelhantes, também chamadas de matrizes semelhantes. Além disso, mostramos um exemplo claro de duas matrizes semelhantes e todas as propriedades deste tipo de matrizes para que você não tenha dúvidas. Finalmente, você poderá até ver como elas se relacionam com matrizes congruentes.
O que são matrizes semelhantes (ou semelhantes)?
A definição de matrizes semelhantes é a seguinte:
duas matrizes
E
são semelhantes (ou semelhantes) se existir uma matriz
com o qual a seguinte condição é atendida:
Ou equivalente:
Na verdade, a matriz
atua como uma matriz de mudança básica. Portanto, o que esta equação significa é que a matriz
pode ser expresso em outra base (
), o que dá origem à matriz
.
Este termo também pode ser chamado de transformação de similaridade , já que na verdade estamos transformando a matriz
na matriz
.
Obviamente a matriz
deve ser uma matriz regular ou não degenerada (determinante diferente de zero).
Por outro lado, podemos indicar que duas matrizes são semelhantes à seguinte expressão:
Esta classe de matrizes é mais importante do que parece para a álgebra linear. Eles são usados principalmente para matrizes diagonalizáveis, pois o procedimento para diagonalizar qualquer matriz é baseado no conceito de similaridade de matrizes.
Na verdade, o processo de diagonalização de uma matriz envolve o cálculo de uma matriz semelhante que, ao mesmo tempo, é uma matriz diagonal. Você pode ver como isso é feito em como diagonalizar uma matriz .
Exemplo de matrizes semelhantes ou semelhantes
A seguir veremos um exemplo de matrizes semelhantes de dimensão 2×2 para finalizar a assimilação do conceito.
- As matrizes quadradas A e B são semelhantes entre si através da matriz invertível P:
Para mostrar que estas matrizes são mutuamente semelhantes, devemos primeiro calcular a matriz inversa de P:
E agora verificamos se elas são semelhantes realizando o produto matricial que define a similaridade de duas matrizes:
✅
Sim, a relação de similaridade é cumprida, portanto são matrizes semelhantes.
Propriedades de matriz semelhantes
Duas matrizes semelhantes A e B compartilham as seguintes características:
- Mesma classificação.
- Os determinantes das duas matrizes são iguais.
- Mesmo rastreamento.
- Mesmos autovalores (ou autovalores). No entanto, os autovetores (ou autovetores) geralmente são diferentes.
- Mesmo polinômio característico e polinômio mínimo.
- A transposição de uma matriz é semelhante à matriz original.
- A matriz B pode ser encontrada aplicando operações elementares nas linhas da matriz A e vice-versa.
- Obviamente, a semelhança é refletida. Ou seja, se A é semelhante a B, então B também é semelhante a A.
- Além disso, a similaridade das matrizes também é simétrica. Ou seja, se com a matriz P pode ser obtida a matriz semelhante a A (B), a matriz semelhante a B (A) também pode ser obtida com a mesma matriz P:
- Além disso, a semelhança é transitiva. Portanto, se a matriz A é semelhante à matriz B e a matriz B é semelhante à matriz C, a matriz A também é semelhante à matriz C.
- Finalmente, cada matriz é semelhante a uma matriz dente de serra. E desta propriedade podemos deduzir o seguinte corolário: toda matriz quadrada é semelhante a uma matriz triangular.
matrizes congruentes
Por outro lado, existe também outra relação muito semelhante entre matrizes mas em vez de ser com a matriz inversa, é com a matriz transposta. Isso é chamado de congruência .
Duas matrizes A e B são congruentes se existe uma matriz invertível P com a qual a seguinte igualdade é satisfeita:
Como você pode ver, este é o análogo de matrizes semelhantes, mas com a matriz transposta.