▷ Teorema do resto: o que é, exemplos e exercícios resolvidos ✅

Aqui você encontrará a explicação do que é o teorema do resto (ou teorema do resto) e como ele é aplicado aos polinômios. Você também poderá ver exemplos e, além disso, praticar com exercícios resolvidos passo a passo sobre o teorema do resto.

Qual é o teorema do resto?

Em matemática, o teorema do resto diz que o resto da divisão de qualquer polinômio P(x) por outro polinômio da forma (xa) é igual ao valor numérico do polinômio P(x) para o valor x=a, Em em outras palavras, o resto da divisão P(x):(xa) é equivalente a P(a).

Exemplo do teorema do resto

Depois de vermos o que é o teorema do resto, vejamos um exemplo prático de sua aplicação:

Calcule o restante da divisão entre os dois polinômios a seguir:

$P(x) = x^3+2x^2-4x+3 \qquad \qquad Q(x)=x-1$

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

Para encontrar o resto (ou resíduo) da divisão polinomial podemos aproveitar o teorema do resto, pois neste caso o polinômio divisor é da forma (xa), ou seja, é de primeiro grau, o coeficiente de a variável x é 1 e tem um termo independente.

Então aplicamos o teorema do resto, que diz que o resto de uma divisão como esta é igual ao valor numérico do polinômio do dividendo avaliado no termo independente do polinômio divisor com sinal alterado, ou seja, P(1).

Portanto, para encontrar o resto da divisão, precisamos avaliar o polinômio em x=1:

$\begin{aligned} P(1) &= 1^3+2\cdot 1^2-4\cdot 1+3\\[2ex] &= 1+2\cdot 1-4 \cdot 1+3 \\[2ex] & = 1+2-4+3 \\[2ex] & =\bm{2} \end{aligned}$

O restante da divisão entre os polinômios é, portanto, 2 .

Por outro lado, também podemos verificar com a regra de Ruffini para divisão de polinômios que o resto coincide com o resultado que encontramos:

Como você pode ver, é muito mais rápido e fácil determinar o resto de uma divisão de um polinômio por um binômio com o teorema do resto do que com a regra de Ruffini, porque são realizados muito menos cálculos.

Teorema do resto e do fator

Do teorema do resto e da definição da raiz (ou zero) de um polinômio podemos deduzir o teorema do fator. Portanto, o teorema do fator implica o seguinte:

O teorema do fator diz que um polinômio P(x) é divisível por outro polinômio da forma (xa) se, e somente se, P(a)=0. E, neste caso, isso significa que a é uma raiz ou zero do polinômio P(x).

Além disso, de acordo com o teorema do resto, isto significa que se um polinómio é divisível por outro polinómio, o resto da referida divisão é zero, uma vez que P(a)=0.

Por exemplo, se tivermos um certo polinômio:

$P(x)=x^2+2x-8$

Este polinômio é divisível pelo binômio (x-2) porque P(2)=0:

$\begin{aligned} P(2) &= 2^2+2\cdot 2-8\\[2ex] &= 4+4-8 \\[2ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

Como x=2 cancela o polinômio P(x), isso significa que x=2 é uma raiz do referido polinômio.

E além disso, como P(2)=0, podemos saber graças ao teorema do resto que o resto da divisão

$\cfrac{x^2+2x-8}{x-2}$

é igual a 0.

Exercícios resolvidos do teorema do resto

Para finalizar a compreensão do teorema do resto, preparamos alguns exercícios resolvidos passo a passo para que você possa praticar. Aconselhamos que você experimente primeiro o exercício e depois verifique se o fez corretamente.

Exercício 1

Encontre, pelo teorema do resto, o resto da divisão polinomial

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

, sendo os polinômios envolvidos na operação:

$P(x) =x^3+4x^2-2x+1\qquad \qquad Q(x)=x-2$

Veja a solução

O polinômio divisor é composto apenas por um termo de primeiro grau e um termo independente e, além disso, o coeficiente do termo de primeiro grau é 1. Podemos, portanto, utilizar o teorema do resto.

E para aplicar o teorema do resto, basta avaliar o polinômio do dividendo no termo independente do polinômio divisor com sinal alterado, ou seja, devemos calcular P(2).

$\begin{aligned} P(2) &= 2^3+4\cdot 2^2-2\cdot 2+1\\[2ex] &=8+4\cdot 4-2\cdot 2+1 \\[2ex] & = 8+16-4+1 \\[2ex] & =\bm{21} \end{aligned}$

O restante da divisão entre os dois polinômios é, portanto, 21 .

Exercício 2

Dado o polinômio

$P(x)=x^4-2x^3+5x^2-3x+4 ,$

Encontre o resto obtido dividindo-o por cada um dos seguintes polinômios:

$\text{A)} \ \left(x-1 \right)$
$\text{B)} \ \left(x+1 \right)$
$\text{C)} \ \left(x+2 \right)$
$\text{D)} \ \left(x-3 \right)$

Veja a solução

Como todos os polinômios divisórios satisfazem as condições do teorema do resto, podemos usar este teorema para determinar o resto de cada divisão:

$\begin{aligned} \mathbf{A}\bm{)} \ P(1) &= 1^4-2\cdot 1^3+5\cdot 1^2-3\cdot 1+4\\[2ex] &=1-2\cdot 1+5\cdot 1 -3 \cdot 1+4 \\[2ex] & = 1-2+5-3+4 \\[2ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{B}\bm{)} \ P(-1) &= (-1)^4-2\cdot (-1)^3+5\cdot (-1)^2-3\cdot (-1)+4\\[2ex] &=1-2\cdot (-1)+5\cdot 1 -3 \cdot (-1)+4 \\[2ex] & = 1+2+5+3+4 \\[2ex] & =\bm{15} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{C}\bm{)} \ P(-2) &= (-2)^4-2\cdot (-2)^3+5\cdot (-2)^2-3\cdot (-2)+4\\[2ex] &=16-2\cdot (-8)+5\cdot 4 -3 \cdot (-2)+4 \\[2ex] & = 16+16+20+6+4 \\[2ex] & =\bm{62} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathbf{D}\bm{)} \ P(3) &= 3^4-2\cdot 3^3+5\cdot 3^2-3\cdot 3+4\\[2ex] &=81-2\cdot 27+5\cdot 9 -3 \cdot 3+4 \\[2ex] & = 81-54+45-9+4 \\[2ex] & =\bm{67} \end{aligned}$

Exercício 3

Calcule quanto o parâmetro deve valer

$m$

de modo que o resto da divisão dos polinômios

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

ser igual a 3, sendo ambos polinômios:

$P(x) =x^3-5x^2-mx+9 \qquad \qquad Q(x)=x+3$

Veja a solução

Neste caso particular, o polinômio divisor é composto por um monômio de primeiro grau e um termo independente e, além disso, o coeficiente do monômio de primeiro grau é 1. Podemos, portanto, utilizar o teorema do resto.

E para usar o teorema do resto, basta substituir o termo independente do polinômio divisor por uma mudança de sinal onde no polinômio dividido há um x, devemos portanto resolver P(-3).

$\begin{aligned} P(-3) &=(-3)^3-5\cdot (-3)^2-m\cdot (-3)+9\\[2ex] &=-27-5\cdot 9 -m\cdot (-3)+9 \\[2ex] & = -27-45+3m+9 \\[2ex] & =3m-63 \end{aligned}$

Mas obviamente obtemos um resultado baseado na incógnita

$m.$

No entanto, a definição do problema nos diz que o resto deve ser igual a três, então devemos definir o resto igual a 3:

$3m-63 = 3$

E finalmente, resolvemos a equação:

$3m = 3+63$

$3m = 66$

$m = \cfrac{66}{3}$

$\bm{m = 22}$

Exercício 4

Determine com o teorema do fator e do resto se o polinômio

$P(x)$

é divisível pelo polinômio

$Q(x).$

$P(x) =-2x^3-5x^2-x+2 \qquad \qquad Q(x)=x+2$

Veja a solução

Para que o polinômio

$P(x)$

ser divisível pelo polinômio

$Q(x)$

a divisão entre esses dois polinômios deve ser exata e, portanto, o resto deve ser zero.

Então, como o polinômio divisor é

$(x+2),$

Pelo teorema do fator e pelo teorema do resto, sabemos que o polinômio

$P(x)$

será divisível pelo polinômio

$Q(x)$

se estiver preenchido

$P(-2)=0.$

Devemos, portanto, ver se esta igualdade se verifica:

$P(-2)=0 \quad \color{blue} \bm{?}$

$\begin{aligned} P(-2) &=-2\cdot (-2)^3-5\cdot (-2)^2-(-2)+2\\[2ex] &=-2 \cdot (-8) -5 \cdot 4+2 +2\\[2ex] & =16-20+2+2 \\[2ex] & =0\end{aligned}$

Na verdade, o resto da divisão

$\cfrac{P(x)}{Q(x)}$

é igual a 0, então o polinômio

$P(x)$

Sim, é divisível pelo outro polinômio

$Q(x).$

O que você acha da explicação? Você gostou? Esperemos! Não se esqueça que você pode nos deixar suas sugestões ou dúvidas nos comentários. ⬇⬇⬇ Lemos todos vocês! 😁😁

Teorema do resto (ou resíduo)

Qual é o teorema do resto?

Exemplo do teorema do resto

Teorema do resto e do fator

Exercícios resolvidos do teorema do resto

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

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