Polinômio homogêneo

Esta página explica o que são polinômios homogêneos. Você também verá exemplos de polinômios homogêneos e as propriedades desse tipo de polinômio. E, além disso, você encontrará a diferença entre polinômios homogêneos e polinômios heterogêneos.

O que é um polinômio homogêneo?

A definição de um polinômio homogêneo é a seguinte:

Em matemática, um polinômio homogêneo é um polinômio em que todos os termos têm o mesmo grau.

Um exemplo de polinômio homogêneo seria:

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

Neste caso, trata-se de um polinômio homogêneo de grau 3, pois todos os monômios que fazem parte do polinômio são de terceiro grau.

Se você tiver alguma dúvida sobre como é calculado o grau de um termo de um polinômio homogêneo, pode consultar nossa página sobre quais são as partes de um monômio , onde você não só encontrará como encontrar o grau de um monômio, mas também a explicação de todas as partes de um monômio e como identificá-las. Além disso, você poderá ver exemplos e praticar com exercícios resolvidos passo a passo.

Exemplos de polinômios homogêneos

Depois de vermos o que significa um polinômio ser homogêneo, vejamos alguns exemplos de polinômios homogêneos para finalizar a compreensão do conceito:

Exemplo de um polinômio homogêneo de grau 5:

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

Exemplo de um polinômio homogêneo de grau 7:

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

Exemplo de um polinômio homogêneo de grau 13:

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

Polinômio homogêneo e polinômio heterogêneo

Deve-se notar que outro polinômio muito semelhante ao polinômio homogêneo é o polinômio heterogêneo, embora exista uma diferença fundamental entre eles:

Um polinômio heterogêneo é um polinômio em que todos os termos não têm o mesmo grau.

Portanto, somente quando um monômio do polinômio tiver grau diferente do resto dos elementos, esse polinômio será heterogêneo.

Por exemplo, o seguinte polinômio é heterogêneo:

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

Embora dois dos termos do polinômio sejam de grau 4 (x ⁴ , 2x ³ y), na verdade é um polinômio heterogêneo porque possui outro termo de grau diferente (8x ² é de grau 2).

Como você pode ver, polinômios homogêneos e heterogêneos são muito semelhantes entre si e facilmente confundidos, por isso precisamos ter cuidado.

Propriedades de polinômios homogêneos

Polinômios homogêneos têm as seguintes características

O número de diferentes monômios homogêneos de grau M em um polinômio de N variáveis pode ser calculado usando a seguinte fórmula:

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

Talvez o “ ! ” » parece estranho para você que seja usado em álgebra. Bem, você deve saber que é usado para indicar uma operação matemática especial, chamada fatorial de um número . Você pode ver em que consiste esta operação e para que serve no link anterior.

A expressão para a série de Taylor que corresponde a um polinômio homogêneo estendido no ponto x é a seguinte:

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

Porém, para poder aplicar (e compreender) esta propriedade, é necessário saber como a expressão é calculada

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

chamado de número combinatório. Portanto, se você não entendeu a propriedade anterior, recomendo que veja qual é a fórmula do número combinatório .

O que é um polinômio homogêneo?

Exemplos de polinômios homogêneos

Polinômio homogêneo e polinômio heterogêneo

Propriedades de polinômios homogêneos

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